数学の一分野、位相空間論における Fσ-集合とは、位相空間部分集合で、閉集合可算に書けるようなものを言う。由来としては、F が閉(集合)を意味するフランス語の fermé から、σ が合併を意味するフランス語の somme からそれぞれとられている。

性質編集

Fσ-集合の補集合Gδ-集合である。

可算個の Fσ-集合の合併はまた Fσ-集合であり、有限個の Fσ-集合の交わりはふたたび Fσ-集合を成す(Fσ-集合の可算交叉は Fσδ-集合という)。

例と反例編集

  • 任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
  • 有理数全体の成す集合 Q は実数全体の成す集合 R の Fσ-集合である。無理数全体の成す集合 P = RQR の Fσ-集合ではない。
  • チホノフ空間において、一点集合 {x} は閉集合となるから、任意の高々可算な集合は Fσ-集合になる。
  • 距離化可能空間においては、任意の開集合が Fσ-集合になり、また任意の閉集合が Gδ-集合になる。

座標平面 R2 上の点 (x, y) で x/y有理数となるようなもの全体の成す集合 A は Fσ-集合である。これは A が原点を通り、傾きが有理数であるような直線の和

 

として書けることによる。ここで有理数全体の成す集合 Q が可算集合であることに注意。

参考文献編集

  • John L. Kelley, General topology, van Nostrand, 1955.
  • Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR507446 

関連項目編集