f を原点を中心とする半径 r の閉円板 D 複素平面 の領域上の解析関数とし，a 1 ,a 2 ,..., a n D f の零点とし，f (0)≠ 0イェンセンの公式 は次の公式である：
log
|
f
(
0
)
|
=
∑
k
=
1
n
log
(
|
a
k
|
r
)
+
1
2
π
∫
0
2
π
log
|
f
(
r
e
i
θ
)
|
d
θ
.
{\displaystyle \log |f(0)|=\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {|a_{k}|}{r}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .}
この公式は円板 D f の零点のモジュライと境界の円周 |z | = r 上の log |f (z )| の平均との間の関係を確立し，調和関数 の平均値の性質の一般化と見ることができる．すなわち，f が D
log
|
f
(
0
)
|
=
1
2
π
∫
0
2
π
log
|
f
(
r
e
i
θ
)
|
d
θ
{\displaystyle \log |f(0)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta }
となり，これは調和関数 log |f (z )| の平均値の性質である．
頻繁に用いられるイェンセンの公式の同値な主張は
1
2
π
∫
0
2
π
log
|
f
(
r
e
i
θ
)
|
d
θ
−
log
|
f
(
0
)
|
=
∫
0
r
n
(
t
)
t
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\;d\theta -\log |f(0)|=\int _{0}^{r}{\frac {n(t)}{t}}\;dt}
である，ただし n (t )t の原点を中心とする円板内の f の零点の個数を表す．
イェンセンの公式は D
f
(
z
)
=
z
l
g
(
z
)
h
(
z
)
{\displaystyle f(z)=z^{l}{\frac {g(z)}{h(z)}}}
と仮定する，ただし g と h は D
a
1
,
…
,
a
n
∈
D
∖
{
0
}
{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {D} \setminus \{0\}}
b
1
,
…
,
b
m
∈
D
∖
{
0
}
{\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{m}\in \mathbb {D} \setminus \{0\}}
log
|
g
(
0
)
h
(
0
)
|
=
log
|
r
m
−
n
a
1
…
a
n
b
1
…
b
m
|
+
1
2
π
∫
0
2
π
log
|
f
(
r
e
i
θ
)
|
d
θ
{\displaystyle \log \left|{\frac {g(0)}{h(0)}}\right|=\log \left|r^{m-n}{\frac {a_{1}\ldots a_{n}}{b_{1}\ldots b_{m}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta }
となる．
イェンセンの公式は円の中の解析関数の零点の個数を評価するのに使うことができる．すなわち，f が半径 R の z 0 |f | がその円盤の境界上 M でおさえられていれば，半径 r < R z 0 f の零点の個数は
1
log
(
R
/
r
)
log
M
|
f
(
z
0
)
|
{\displaystyle {\frac {1}{\log(R/r)}}\log {\frac {M}{|f(z_{0})|}}}
を超えない．
イェンセンの公式は整関数や有理型関数の値の分布の研究において重要な主張である．とくに，ネヴァンリンナ理論 の出発点である．
ポワソン・イェンセンの公式
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イェンセンの公式はより一般的なポワソン・イェンセンの公式の帰結であり，これは逆にイェンセンの公式から z にメビウス変換 を施すことによって得られる．それはロルフ・ネヴァンリンナ (Rolf Nevanlinna) によって導入され命名された．f が単位円板内で解析的な関数であって，零点 a 1 , a 2 , ..., a n
z
0
=
r
0
e
i
φ
0
{\displaystyle z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0}}}
ポワソン・イェンセンの公式 (Poisson–Jensen formula) の主張は以下である：
log
|
f
(
z
0
)
|
=
∑
k
=
1
n
log
|
z
0
−
a
k
1
−
a
¯
k
z
0
|
+
1
2
π
∫
0
2
π
P
r
0
(
φ
0
−
θ
)
log
|
f
(
e
i
θ
)
|
d
θ
.
{\displaystyle \log |f(z_{0})|=\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {z_{0}-a_{k}}{1-{\bar {a}}_{k}z_{0}}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta .}
ここで，
P
r
(
ω
)
=
∑
n
∈
Z
r
|
n
|
e
i
n
ω
{\displaystyle P_{r}(\omega )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }r^{|n|}e^{in\omega }}
は単位円板上のポワソン核 である．関数 f が単位円板内に零点を持たないとき，ポワソン・イェンセンの公式は
log
|
f
(
z
0
)
|
=
1
2
π
∫
0
2
π
P
r
0
(
φ
0
−
θ
)
log
|
f
(
e
i
θ
)
|
d
θ
{\displaystyle \log |f(z_{0})|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r_{0}}(\varphi _{0}-\theta )\log |f(e^{i\theta })|\,d\theta }
となり，これは調和関数 log |f (z )| に対するポワソンの公式 である．
参考文献
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Ahlfors, Lars V. (1979), Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable , International Series in pure and applied Mathematics (3rd ed.), Düsseldorf: McGraw–Hill, ISBN 0-07-000657-1 , Zbl 0395.30001 Jensen, J. (1899), “Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions” (フランス語), Acta Mathematica 22 (1): 359–364, doi :10.1007/BF02417878 , ISSN 0001-5962 , JFM 30.0364.02 , MR 1554908 Ransford, Thomas (1995), Potential theory in the complex plane , London Mathematical Society Student Texts, 28 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-46654-7 , Zbl 0828.31001 
