エカント

エカント(Equantまたはpunctum aequans)は、天体の見かけの速さの変化を円運動で説明するために、2世紀にクラウディオス・プトレマイオスの『アルマゲスト』で提案された数学的な概念である。

プトレマイオスによる(水星を除く）惑星の運動。惑星(黄色)は周転円(小さい円)に沿って等速回転する。
周転円の中心は、従円(大きい円)に沿って動く。ただし、従円の中心Xは地球の中心とは異なる。周転円の中心はの運動は、エカント点（・）から見る角速度が一定となるように動く。

古代ギリシアでは、天体の運動は円に沿った等速回転を基本として説明された。しかし実際には、惑星の運動はケプラーの法則で非常によく近似され、回転の半径も速度も一定ではない。このような軌道を円を一つだけ用いて近似するために用いられたのが離心円やエカントである。

エカントは、簡単で精度のよい惑星の理論を実現させたが、同時に等速円運動の原則から外れ、物理的な根拠も明らかでなかったため、中世に置いてもしばしば批判される。エカントへの嫌悪がコペルニクスが地動説を考える大きな動機となり、彼の理論ではエカントは完全に排除された。一方、ケプラーは楕円軌道の理論に進む前に、エカントを用いた理論を作った。

離心円

ヒッパルコスは、太陽は地球と異なった点を中心とする円、すなわち離心円に沿って等速回転するとした。観測者が回転の中心から外れたところにいるため、見かけの太陽の速度は変化してみえる。これを太陽中心に書き直すと、地球を太陽から少し離れた点の周りに等速円運動させることで、ケプラーの法則を近似していることになる。軌道離心率が小さい場合、離心円の中心を(天体がない方の)楕円軌道の焦点とすると、二つの天体間の方向は精度よく近似できる。一方、距離の変動はあまりよく近似されない。

エカントと惑星理論

方角も距離も良く近似にするためには、回転速度の中心を離心円の中心と異なった点におく。すなわち、離心円の回転速度を、中心とは異なったエカントと名づけられた点から見て一定になるように調整する。ケプラーの法則に則った運動を近似するには、離心円の中心を楕円の中心に一致させ、エカントを楕円の(天体がない方の)焦点と一致させる。すると、軌道離心率が小さい場合、方角、距離の変動ともによい近似を与える。

エカントは、惑星の理論で用いられた。 惑星の理論を作るにあたって、プトレマイオスは、惑星の運動に太陽との相対的な位置で決まる成分があることを指摘して(『アルマゲスト』IX巻5)、太陽と関係なく決まる成分と分離した。現代から見れば、前者は地球の公転、後者は惑星の公転に相当する。そして、各々に円を一つずつ割り振った。右図において、惑星(黄色)は周転円(小さい円)に沿って等速回転し、周転円の中心は、従円(大きい円)に沿って動く。従円は図のxを中心とする離心円で、xがエカントである。

現代から見れば、『アルマゲスト』の理論では、地球の公転又は惑星の公転のうち、片方を等速円運動による粗く近似して周転円とし、もう片方を離心円とエカントを用いてより詳しく近似して従円にしている。なお、離心円にエカントの導入した理由は、上述したように、周転円の中心と地球との距離をより精度よく近似するためであった。両者の距離は、周転円の見かけの大きさとして観測に影響する。

ケプラーの法則との比較

上記の惑星の理論で、地球から見た周転円の中心の方向の角度$\nu$を、もっとも地球に近接した地点から測ると、

$\nu (t)=\Omega t+2e\sin(\Omega t)+e^{2}\sin(2\Omega t)+O(e^{3})$

である。ここでtは時刻で、周転円の中心が地球に最も近いときに$t=0$とし、$\Omega$はエカントから見た一定の角速度、$e$は離心率、即ち従円の中心とエカントの距離を従円の半径$a$で割ったものである。（$\nu$は真近点角に, $\Omega t$は平均近点角に相当する。）また、地球から周転円の中心までの距離$r$は、

${\frac {r(t)}{a}}=1-e\cos(\Omega t)+{\frac {3}{2}}e^{2}\sin ^{2}(\Omega t)+O(e^{3})$

である。これらは、離心率$e$が小さい場合、周転円の中心がケプラーの法則に従って、地球の周りを軌道長半径$a$, 離心率$e$の楕円軌道に沿って運動するとしたものに近く、$e$の一次のオーダーまで一致し、二次の項も極端に異なるわけではない。なお、仮に周転円の中心がケプラーの法則に従って回転した場合、

$\nu (t)=\Omega t+2e\sin(\Omega t)+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin(2\Omega t)+O(e^{3})$

${\frac {r(t)}{a}}=1-e\cos(\Omega t)+e^{2}\sin ^{2}(\Omega t)+O(e^{3})$

である。この二つの式では、$e$は楕円の離心率である。エカントは、このように円運動一つで楕円運動を効率よく近似する。ケプラーも楕円軌道を試みる前はエカントを用い、コペルニクスよりも精度のよいモデルを得ている。

批判

クラウディオス・プトレマイオスの『アルマゲスト』『惑星仮説』では、円軌道は全て透明な硬い球体として物理的な実体を持ち、等速回転するとされた。もし周転円の中心が上で説明されたような運動をするのであれば、この従円に対応する球体は回転速度を時々刻々変えなければならず、この説明にそぐわない。その上、回転速度の変化を実現させる物理的な仕組みの説明も、特に示されていない。それどころか、宇宙論の書である『惑星仮説』では、エカントは言及されない。また、天界の自然な運動は地球を中心にする等速円運動しかないとするアリストテレスの自然学にも反する。この矛盾は、中世において度々取り上げられ、批判されてきた。

エカント批判には、そもそも周転円や離心円を認められないとするもの（エウドクソスの同心球説の改良を目指アルペトラギウスやイブン・ルシュドなど）と、等速円運動であれば地球を中心に持たないものでも可とする立場に分かれた。後者の立場のものとしては、ウルディーの補題による代替を考えたシリアの天文学者ムアイヤドゥッディーン・ウルディー、トゥースィーの対円による代替を考えたペルシアの碩学ナスィールッディーン・トゥースィー、両者を綜合してより複雑な水星の問題に取り組んだペルシアのシーラーズィー（en:Qutb al-Din al-Shirazi）、これらを踏まえてより観測に合う月や太陽の距離の理論を作ったイブン・シャーティル、そしてニコラウス・コペルニクスがいた。

参考文献

• George Saliba (1996) Arabic planetary theories after the eleventh century AD :in Rashed, ed. (1996) Encyclopedia of the History of Arabic Science, vol.1. Routledge, pp. 59-128, arxiv.org
• Olaf Pedersen, A Survey of the Almagest, With Annotation and New Commentary ByAlexander Jones, Springer, 2011.

• 宮城晴耕「プトレマイオスのエカントとケプラーの法則の接点」『地学教育と科学運動』第77巻、地学団体研究会、2016年、 75-79頁、 doi:10.15080/chitoka.77.0_75、 ISSN 0389-3766、 NAID 130007851449。

外部リンク

• Ptolemaic System at Rice University's Galileo Project
• Java simulation of the Ptolemaic System at Paul Stoddard's Animated Virtual Planetarium, Northern Illinois University