エピグラフ (数学)

数学の分野においてエピグラフ (epigraph) とはある関数の上側の領域を指す。すなわち、関数f:Rⁿ → Rのエピグラフとは、

黒で描かれた関数が凸関数であることと、緑で示された領域が凸集合であることは同値である。このときの緑の領域を関数のエピグラフと呼ぶ。

${\mbox{epi}}f=\{(x,\mu )\,:\,x\in \mathbb {R} ^{n},\,\mu \in \mathbb {R} ,\,\mu \geq f(x)\}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1}$

なる領域を指す。狭義には不等号から等式を外して

${\mbox{epi}}_{S}f=\{(x,\mu )\,:\,x\in \mathbb {R} ^{n},\,\mu \in \mathbb {R} ,\,\mu >f(x)\}\subseteq \mathbb {R} ^{n+1},$

をエピグラフということもある。

これと同様にして関数の下側を表す領域をハイポグラフという。

性質

エピグラフが凸集合であることと、元の関数fが凸関数であることとは同値である。特にfがアフィン写像である場合にはエピグラフは半集合となる。

エピグラフが閉集合であることと、元の関数が下半連続であることとは同値である。当然、エピグラフが閉凸集合であるのは関数fが下半連続な凸関数であるときで、かつその時に限る。