数学の分野においてエピグラフ (epigraph) とはある関数の上側の領域を指す。すなわち、関数f:Rn → Rのエピグラフとは、
黒で描かれた関数が
凸関数であることと、緑で示された領域が
凸集合であることは同値である。このときの緑の領域を関数のエピグラフと呼ぶ。

なる領域を指す。狭義には不等号から等式を外して

をエピグラフということもある。
これと同様にして関数の下側を表す領域をハイポグラフ(英語版)という。
エピグラフが凸集合であることと、元の関数fが凸関数であることとは同値である。特にfがアフィン写像である場合にはエピグラフは半集合となる。
エピグラフが閉集合であることと、元の関数が下半連続であることとは同値である。当然、エピグラフが閉凸集合であるのは関数fが下半連続な凸関数であるときで、かつその時に限る。