オイラーの式

オイラーの式（オイラーのしき）は、レオンハルト・オイラーの名を冠する数式。以下のように多数の公式や方程式が存在する。

数学

関数

• オイラーの公式  （Euler's formula） - 指数関数と三角関数の関係式。

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

• オイラーの等式  （Euler's identity） - 上記の関係式で $\theta =\pi$ のときに導かれる等式。

$e^{i\pi }+1=0$

代数

• オイラーの四平方恒等式  （Euler's four-square identity）

級数

• オイラー多項式（Euler poynomial）

$E_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{n-k}$

• オイラーの和公式 - オイラー＝マクローリンの和の公式（Euler–Maclaurin summation formula）とも呼ばれる。

$\sum _{j=0}^{n-1}f(j)=\int _{0}^{n}f(x)dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}$

幾何学

• オイラーの多面体定理 - 多面体を参照。

物理学

流体力学

• オイラー方程式 (流体力学)  （Euler equations (fluid dynamics)） - 完全流体に関する運動方程式。

${\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}={\boldsymbol {K}}-{\frac {1}{\rho }}\,\mathrm {grad} \,p$　　$\left({\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \right)$

• 流体に関するオイラーの連続の方程式　⇒連続の方程式を参照。

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm {div} (\rho {\boldsymbol {v}})=0$

剛体の力学

• オイラーの運動方程式  （Euler's equations (rigid body dynamics)） - 剛体の回転に関する運動方程式。

解析力学

• オイラー方程式   - 変分法による運動方程式。解析力学の基礎方程式でもあり、オイラー＝ラグランジュ方程式  （Euler–Lagrange equation）とも呼ばれる。

${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)=0$

工学

• オイラーの式 - 座屈に関する公式。

関連項目

• en:List of things named after Leonhard Euler（レオンハルト・オイラーにちなんで名づけられたものの一覧）