多面体(ためんたい、: polyhedron)は、複数(4つ以上)の平面に囲まれた立体のこと。複数の頂点を結ぶ直線と、その辺に囲まれたによって構成される。したがって、円柱などの曲面をもつものは含まず、また、すべての面の境界が直線である場合に限られる。

多面体の一種、立方体

3次元空間での多胞体であるとも定義できる。2次元空間での多胞体は多角形なので、多角形を3次元に拡張した概念であるとも言える。

英語ではポリヘドロン (polyhedron)、複数形はポリヘドラ (polyhedra) である。多角形のポリゴン (polygon) の複数形がポリゴンズ (polygons) であるのとは異なる。

オイラーの多面体定理(オイラーの多面体公式)編集

穴の開いていない多面体、すなわち球面位相同型な多面体については、頂点の数について

(頂点の数)+(面の数)-(辺の数)=2

が成り立つ。これをオイラーの多面体定理(オイラーの多面体公式)という。

この定理は、実際に多面体として成り立つような形状にとどまらず、頂点と辺から成るような任意の「グラフ」について扱うグラフ理論による定理である。オイラー標数の記事も参照。

多面体の分類編集

凸多面体 - 全ての二面角が180度未満の多面体。


非凸(凹)多面体 - いずれかの二面角が180度を超える多面体。

  • 星型多面体 - 面または頂点形状に星型多角形がある多面体。
  • 星型正多面体(ケプラー・ポアンソの立体) - 全ての面が合同な正多角形(星型多角形を含む)で、全ての頂点形状が合同な正多角形(星型多角形を含む)である多面体のうち、凸正多面体以外。


穿孔多面体 - 貫通したのある多面体。

単側多面体 - メビウスの帯クラインの壺のように表裏の区別のつかない多面体。[1]


以上は閉じた多面体の分類であるが、多面体の定義を「空間内で複数の多角形を辺で連結された立体」と緩めることによって、

開多面体 - 空間を切り取らない有限面体や、

ねじれ正多面体(スポンジ) - 全ての面が合同な正多角形で、ジグザグの頂点形状を持ち空間を二分する無限の面をもつ多面体

といった開いた多面体も論じられる場合がある。


多面体の作図編集

脚注編集

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  1. ^ 多面体百科. 丸善出版. (2016/10/31) 

関連項目編集

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Polyhedron". MathWorld (英語).
  • polyhedron in nLab
  • polyhedron - PlanetMath.(英語)
  • Definition:Polyhedron at ProofWiki
  • BSE-3 (2001), "Polyhedron", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • 立体認識における構造模型の有効性 -編み上げ多面体と多面体の組みモデル-[リンク切れ]