多面体(ためんたい、: polyhedron)は、4つ以上の平面に囲まれた立体のこと。複数の頂点を結ぶ直線と、その辺に囲まれたによって構成される。したがって、円柱などの曲面をもつものは含まず、また、すべての面の境界が直線である場合に限られる。

多面体の一種、立方体

3次元空間での多胞体であるとも定義できる。2次元空間での多胞体は多角形なので、多角形を3次元に拡張した概念であるとも言える。

英語ではポリヘドロン (polyhedron)、複数形はポリヘドラ (polyhedra) である。多角形のポリゴン (polygon) の複数形がポリゴンズ (polygons) であるのとは異なる。

オイラーの多面体定理(オイラーの多面体公式)編集

穴の開いていない多面体、すなわち球面位相同型な多面体については、頂点の数について

(頂点の数) + (面の数) - (辺の数) = 2

が成り立つ。これをオイラーの多面体定理(オイラーの多面体公式)という。

この定理は、実際に多面体として成り立つような形状にとどまらず、頂点と辺から成るような任意の「グラフ」について扱うグラフ理論による定理である。たとえば穿孔多面体のような貫通した孔を g 個持つ多面体では次式(オイラー・ポアンカレの多面体公式[1])となる。

(頂点の数) + (面の数) - (辺の数) = 2(1-g)

多面体の分類編集

以上は閉じた多面体の分類であるが、多面体の定義を「空間内で複数の多角形を辺で連結された立体」と緩めることによって、

といった開いた多面体も論じられる場合がある。

多面体の作図編集

脚注編集

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  1. ^ 宮崎興二 『4次元図形百科』 丸善出版、2020年、125頁。ISBN 978-4-621-30482-2 
  2. ^ 多面体百科. 丸善出版. (2016/10/31) 

関連項目編集

外部リンク編集