カプレカー数

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カプレカー数(カプレカーすう、Kaprekar number)とは、次のいずれかで定義される自然数である[1]

  1. 2乗して上位の半分と下位の半分とに分けて和を取ったとき、元の値に等しくなる自然数。
  2. 桁を並べ替えて最大にした数と最小にした数との差を取ったとき、元の値に等しくなる自然数(カプレカー定数)。

名称は、インド数学者 D. R. カプレカル英語表記: D. R. Kaprekar[1][2])にちなむ[3][4]。カプレカ数[5]、カプリカ数[6]ともいい、原語であるマラーティー語の発音[7]に近づけてカプレカル数[8][9]ともいう。

定義1編集

正の整数2乗し、上位と下位のゼロでない[10]数桁ずつに分けて、それらの和を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカー数と呼ぶ。

例えば、297 はカプレカー数である。2972 = 88209 であり、これを上位の2桁 88 と下位の3桁 209 とに分けて足すと 88 + 209 = 297 となる。 この定義でのカプレカー数を小さな順に並べると、こうなる[11]

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, …
  • 正の整数の2乗を、上位と下位との桁数をほぼ等しく(桁数が等しいか、上位の桁数より下位の桁数が1だけ大きく)分けるという定義もある。つまり、2乗が偶数桁(2n 桁)である場合は上位の n 桁と下位の n 桁とに分け、奇数桁(2n+1 桁)である場合は上位の n 桁と下位の n+1 桁とに分けて、上位と下位との和を取る。4879 と 5292 は、この定義のクラスには含まれない[12]
48792 = 23804641 であり、238 + 04641 = 4879。
52922 = 28005264 であり、28 + 005264 = 5292。

定義1のカプレカー数は無数ある。例えば、9, 99, 999, 9999, 99999, … のように"9"のぞろ目の数は全てこの定義のカプレカー数である。

定義2(カプレカー定数)編集

整数の桁を並べ替えて、最大にしたものと最小にしたものとの差を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカー数と呼ぶ。

例えば、7641 − 1467 = 6174 であるから、6174 はこの定義でのカプレカー数である。10進4桁では唯一のものであり、カプレカー定数とも呼ばれる。3桁における唯一のカプレカー定数は、495 である。

この定義でのカプレカー数(カプレカー定数)を小さな順に並べると、こうなる[13]

0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664, …

なお、容易に分かるように、この定義でのカプレカー数は全て9倍数である。

最初の数として 2005 を取り、上記の操作を繰り返すと

5200 − 0025 = 5175
7551 − 1557 = 5994
9954 − 4599 = 5355
5553 − 3555 = 1998
9981 − 1899 = 8082
8820 − 0288 = 8532
8532 − 2358 = 6174
7641 − 1467 = 6174

となり、この後は 6174 が繰り返される。どのような4桁の数でも最終的に 0 または 6174 になることが確かめられる(1111 の倍数、およびそれらに 1, 10, 100 または 1000 を足すか引くかしたものだけが 0 になり,その他は 6174 になる)。カプレカル自身は4桁の数だけを考察したが、任意の桁数の整数で同じことが考えられる。ある桁数の整数は有限個であるから、この操作を繰り返すと、最終的に必ずループになる。ループの周期が 1 である場合に、その整数をカプレカー数と呼ぶのである。

この定義のカプレカー数は無数ある。例えば、6174, 631764, 63317664, 6...333...17...666...4(途中に出現する"3"と"6"との長さが等しいもの)は全てカプレカー数である。

脚注編集

  1. ^ a b Kaprekar 1980.
  2. ^ D. R. Kaprekar (1949-03). “217 Another Solitaire Game”. Scripta Mathematica 15 (1): 244-245. 
  3. ^ マーティン・ガードナー 著、一松信 訳 『メイトリックス博士の驚異の数秘術』紀伊國屋書店、1978年、155-156頁。 
  4. ^ 西山豊6174の不思議 (PDF) 」 『理系への数学』、現代数学社、2006年1月、 9-12頁、2021年3月19日閲覧。
  5. ^ サム・パーク編 著、蟹江幸博 訳 『数学、それは宇宙の言葉 : 数学者が語る50のヴィジョン』岩波書店、2020年、1-6頁。 
  6. ^ 秋山仁 『NHK 算数大すき』日本放送出版協会、1992年。 
  7. ^ マラーティー語でのつづり कापरेकर発音は「カプリカル」であって、最後の「ル」は巻き舌音。
  8. ^ 片山 1988.
  9. ^ 亀井 2021.
  10. ^ 10002 = 1000000 であり、1000 + 000 = 1000 であるが、1000 はカプレカー数ではない。
  11. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A006886
  12. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A053816
  13. ^ A099009

参考文献編集

  • D. R. Kaprekar (1980–1981). “On Kaprekar numbers”. Journal of Recreational Mathematics 13: 81–82. 
  • M. ラインズ 著、片山孝次 訳 『数 : その意外な表情』岩波書店、1988年。 
  • 亀井哲治郎「6174は「カプレカル数」と呼ぼう!」『数学教室』こ・そ・あ・ど/んなこと、あけび書房、2021年4月、 72-73頁。

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Kaprekar Number". MathWorld (英語). - 第1の定義によるカプレカー数
  • Weisstein, Eric W. "Kaprekar Routine". MathWorld (英語). - 第2の定義によるカプレカー数
  • Yutaka Nishiyama (2006年3月1日). “Mysterious Number 6174”. Plus Magazine. University of Cambridge. 2021年3月29日閲覧。