カプレカー数

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カプレカー数(カプレカーすう、Kaprekar Number)とは、次のいずれかで定義される整数である[1]

  1. 2乗して前の部分と後ろの部分に分けて和を取ったとき、元の値に等しくなるもの。
  2. 桁を並べ替えて最大にしたものから最小にしたものの差を取ったとき、元の値に等しくなるもの。

名称は、インド数学者 D. R. カプレカー英語版英語表記: D. R. Kaprekar[1][2])にちなむ[3][4]。カプレカ数[5]、カプリカ数[6]ともいい、原語であるマラーティー語 (कापरेकर 発音、カプリカル) の発音に近いカプレカル数[7][8]ともいう。

定義1編集

正の整数2乗し、それが偶数桁(2n 桁)である場合は上位の n 桁と下位の n 桁とに分け、奇数桁(2n+1 桁)である場合は上位の n 桁と下位の n+1 桁とに分けて、上位と下位との和を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカー数と呼ぶ。

例えば、2972 = 88209 であり、これを上位の2桁 88 と下位の3桁 209 とに分けて足すと 88 + 209 = 297 となるので、297 はカプレカー数である。

この定義でのカプレカー数を小さな順に並べると、こうなる[9]

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, …

この定義のカプレカー数は無数ある。例えば、9, 99, 999, 9999, 99999, … のように"9"のぞろ目の数は全てこの定義のカプレカー数である。

定義2編集

整数の桁を並べ替えて、最大にしたものと最小にしたものとの差を取る。この操作によって元の値に等しくなる数をカプレカー数と呼ぶ。

例えば、7641 − 1467 = 6174 であるから、6174 はこの定義でのカプレカー数であり、4桁では唯一のものである。

この定義でのカプレカー数を小さな順に並べると、こうなる[10]

0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664, …

なお、容易に分かるように、この定義でのカプレカー数は全て9倍数である。

最初の数として 2005 を取り、上記の操作を繰り返すと

5200 − 0025 = 5175
7551 − 1557 = 5994
9954 − 4599 = 5355
5553 − 3555 = 1998
9981 − 1899 = 8082
8820 − 0288 = 8532
8532 − 2358 = 6174
7641 − 1467 = 6174

となり、この後は 6174 が繰り返される。どのような4桁の数でも最終的に 0 または 6174 になることが確かめられる(1111 の倍数、およびそれらに 1, 10, 100 または 1000 を足すか引くかしたものだけが 0 になり,その他は 6174 になる)。カプレカル自身は4桁の数だけを考察したが、任意の桁数の整数で同じことが考えられる。ある桁数の整数は有限個であるから、この操作を繰り返すと、最終的に必ずループになる。ループの周期が 1 である場合に、その整数をカプレカー数と呼ぶのである。

この定義のカプレカー数は無数ある。例えば、6174, 631764, 63317664, 6...333...17...666...4(途中に出現する"3"と"6"との長さが等しいもの)は全てカプレカー数である。

脚注編集

  1. ^ a b Kaprekar 1980.
  2. ^ D. R. Kaprekar (1949-03). “217 Another Solitaire Game”. Scripta Mathematica 15 (1): 244-245. 
  3. ^ マーティン・ガードナー『メイトリックス博士の驚異の数秘術』一松信訳、紀伊國屋書店、1978年、155-156頁。
  4. ^ 西山豊6174の不思議 (PDF) 」 『理系への数学』、現代数学社、2006年1月、 9-12頁、2021年3月19日閲覧。
  5. ^ サム・パーク編『数学、それは宇宙の言葉 : 数学者が語る50のヴィジョン』蟹江幸博訳、岩波書店、2020年、1-6頁。
  6. ^ 秋山仁『NHK 算数大すき』日本放送出版協会、1992年。
  7. ^ 片山 1988.
  8. ^ 亀井 2021.
  9. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A006886
  10. ^ A099009

参考文献編集

  • D. R. Kaprekar (1980–1981). “On Kaprekar numbers”. Journal of Recreational Mathematics 13: 81–82. 
  • M. ラインズ『数 : その意外な表情』片山孝次訳、岩波書店、1988年。
  • 亀井哲治郎「6174は「カプレカル数」と呼ぼう!」『数学教室』こ・そ・あ・ど/んなこと、あけび書房、2021年4月、 72-73頁。

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Kaprekar Number". MathWorld (英語). - 第1の定義によるカプレカー数
  • Weisstein, Eric W. "Kaprekar Routine". MathWorld (英語). - 第2の定義によるカプレカー数
  • Yutaka Nishiyama (2006年3月1日). “Mysterious Number 6174”. Plus Magazine. University of Cambridge. 2021年3月29日閲覧。