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シグモイド関数(ゲイン5)

シグモイド関数(シグモイドかんすう、英: sigmoid function)は、次の式

で表される関数である。ここで、 をゲイン (gain) と呼ぶ。 シグモイド関数は、生物の神経細胞が持つ性質をモデル化したものとして用いられる。


狭義のシグモイド関数は、ゲインを1とした、標準シグモイド関数 (英: standard sigmoid function)

を指す。

目次

概要編集

 
標準シグモイド関数

シグモイド (: sigmoid) とは、シグモイド曲線 (: sigmoid curve) ともいい、ギリシャ文字のシグマ(語中では σ だがここでは語末形の ς のこと)に似た形と言う意味である。ただし、単にシグモイドまたはシグモイド曲線と言った場合は、シグモイド関数と似た性質を持つς型の関数(累積正規分布関数ゴンペルツ関数グーデルマン関数など)を総称するのが普通である。

性質編集

 単調増加連続関数で、1つの変曲点を持つ。

  漸近線に持ち、
 
である。
また、  では、
 
である。つまり、変曲点は   である。 シグモイド関数のグラフは、  を中心に点対称である。すなわち、 奇関数であり、  を満たす。

逆関数は、
 
と、ロジット関数で表せる。特に、標準シグモイド関数とロジット関数は互いに逆関数である。

導関数と二階導関数は、
 
と、シグモイド関数自身を使って簡潔に表せる。

自然対数と絡んで微分するとこのようになる。
 

他の関数との関係編集

 
ς型の関数の比較

シグモイド関数は、双曲線正接関数   を使って   とも表せる。またロジスティック関数  において   とした場合にあたる。

応用編集

導関数をシグモイド関数自身で簡単に導出できるため、微分成分が必要となるプロパゲーションに適している。ニューラルネットワークにおける活性化関数などで用いられる。

関連項目編集