ジーゲル・ウォルフィッツの定理

解析的整数論では、ジーゲル・ウォルフィッツの定理(Siegel–Walfisz theorem)は、カール・ジーゲル(Carl Ludwig Siegel)による定理算術級数における素数英語版(primes in arithmetic progression)への応用として、アーノルド・ウォルフィッツ英語版(Arnold Walfisz)により得られた。[1]

定理の内容編集

 

と定義する。ここに  フォン・マンゴルト函数  オイラーのトーシェント函数とする。定理は、任意の実数 N に対し、N のみに依存する以下を満たす正の定数   が存在することを言っている。(a, q) = 1 かつ

 

であるときは、必ず

 

となる。

注意編集

ジーゲルの定理は非有効である(計算可能ではない)ので、定数  計算可能ではない。

定理より、次の形の算術級数の素数定理を導くことができる。(a, q) = 1 に対し、  により、mod qa に合同な、x 以下の素数の個数を表すとすると、

 

となる。ここに N, a, q, CN, φ は定理のもの、Li は補正対数積分である。

参考文献編集

  1. ^ Walfisz, Arnold (1936). “Zur additiven Zahlentheorie. II ”. Mathematische Zeitschrift 40 (1): 592–607. doi:10.1007/BF01218882.  (ドイツ語)