ジーゲル・ウォルフィッツの定理

解析的整数論では、ジーゲル・ウォルフィッツの定理(Siegel–Walfisz theorem)は、カール・ジーゲル(Carl Ludwig Siegel)による定理の算術級数における素数(primes in arithmetic progression)への応用として、アーノルド・ウォルフィッツ(Arnold Walfisz)により得られた。

定理の内容

$\psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}\Lambda (n)$

と定義する。ここに $\Lambda$ はフォン・マンゴルト函数 で $\phi$ オイラーのトーシェント函数とする。定理は、任意の実数 N に対し、N のみに依存する以下を満たす正の定数 $C_{N}$ が存在することを言っている。(a, q) = 1 かつ

$q\leq (\log x)^{N}$

であるときは、必ず

$\psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-C_{N}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right)$

となる。

注意

ジーゲルの定理は非有効である（計算可能ではない）ので、定数 $C_{N}$ は計算可能ではない。

定理より、次の形の算術級数の素数定理を導くことができる。(a, q) = 1 に対し、$\pi (x;q,a)$ により、mod q で a に合同な、x 以下の素数の個数を表すとすると、

$\pi (x;q,a)={\frac {{\rm {Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-{\frac {C_{N}}{2}}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),$

となる。ここに N, a, q, C_N, φ は定理のもの、Li は補正対数積分である。