デデキントのイータ関数

デデキントのイータ関数 (: Dedekind Eta function) は次のような式で定義される関数である[1]

ヤコビの三重積の公式により、

となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

極と零点編集

 であれば であるから、

 

である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、 が有理数であれば であるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。

テータ関数との関係編集

イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて

 

である。また、

 

である。

モジュラー変換編集

テータ関数虚数変換式により

 

であるが、 が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、

 

である。また、

 

であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。

 

出典編集

  1. ^ Wolfram Mathworld: Dedekind Eta Function