ハドヴィガーの定理

積分幾何学英語版(もしくは幾何学的確率論)において、ハドヴィガーの定理(ハドヴィガーのていり、: Hadwiger's theorem)は Rn における凸体英語版への付値 (測度論)英語版の特徴付けをする定理である。ヒューゴ・ハドヴィガー英語版によって証明された。

導入編集

付値編集

Kn を、Rn における全てのコンパクト凸集合の集まりとする。

付値とは、関数 v:Kn → R であって、 v(∅) = 0 かつ、STKn である任意の S,T ∈Kn に対し

 

を満たすもののことである。付値が連続であるとは、それがハウスドルフ距離について連続であることをいう。付値が剛体運動の下で不変であるとは、任意の S ∈ KnRn の任意の平行移動または回転に対し

v(φ(S)) = v(S)

が成り立つことをいう。

Quermassintegrals編集

 
n = 2 のとき、凸多角形に対するシュタイナーの公式を図解したもの。多角形 K と一定半径の円板 Bt 倍とのミンコフスキー和英語版の面積は、次の3種の図形の面積の合計で求められる:(1) 元の多角形(黄色)、(2) 面積が多角形の周長および t に比例する図形(青紫色)、(3) 面積が円板の面積および t の2乗に比例する図形(緑色)。

quermassintegral英語版 WjKn → R は、シュタイナーの公式

 

によって定義される。ここで B はユークリッド球体。例えば、W0 は体積、W1表面積の定数倍、Wn-1平均幅の定数倍、Wn は定数 Voln(B) である。

Wjn-jの付値である、つまり、

 

定理の主張編集

剛体運動の下で不変で連続な、Kn 上の任意の付値 v は、

 

と表示できる。

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剛体運動の下で不変で連続、かつ斉 j 次な Kn 上の任意の付値 v は、Wn-j の定数倍である。

参考文献編集

ハドヴィガーの定理の説明および証明:

  • Klain, D.A.; Rota, G.-C. (1997). Introduction to geometric probability. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-59362-X. MR1608265 

Beifang Chen による、初等的で自己完結的な証明: