ビアンキ群

3次元リー群やリー代数については「ビアンキ分類」をご覧ください。

数学において、ビアンキ群 (Bianchi group) は

\operatorname {PSL} _{2}({\mathcal {O}}_{d})

という形の群である。ただし $d$ は平方因子を持たない正の整数である。 $PSL$ は射影特殊線型群を表し、 ${\mathcal {O}}_{d}$ は虚二次体 $Q (\sqrt - d)$ の整数環である。

この群は、最初に Bianchi (1892) により、今ではクライン群（英語版）と呼ばれている $PSL 2 (C)$ の離散部分群の自然なクラスとして、研究された。

$PSL 2 (C)$ の部分群として、ビアンキ群は、3次元双曲空間（英語版） $H 3$ の向き付けを保つ等長変換として作用する。商空間 $M_{d}=\operatorname {PSL} _{2}({\mathcal {O}}_{d})\backslash \mathbb {H} ^{3}$ は有限の体積を持つ非コンパクトな双曲的 3 次元多様体であり、ビアンキ多様体とも呼ばれる。基礎体 $Q (\sqrt - d)$ のデデキントゼータ函数を用いた体積の正確な公式は、アンベル（英語版） (Humbert) により次のように計算された。 $D$ を $Q (\sqrt - d)$ の判別式（英語版）とし、 $\Gamma =\operatorname {SL} _{2}({\mathcal {O}}_{d})$ を $H$ への不連続な作用とすると、

\operatorname {vol} (\Gamma \backslash \mathbb {H} )={\frac {|D|^{3/2}}{4\pi ^{2}}}\,\zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}(2)

となる。 $M d$ のカスプ全体の集合は、 $Q (\sqrt - d)$ の類群と全単射の対応がつく。任意の非コンパクトな数論的クライン群は、ビアンキ群と弱通約的 (weakly commensurable) であることがよく知られている^[1]。

脚注編集

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^ Maclachlan & Reid (2002), p. 58.

参考文献編集

Bianchi, Luigi (1892). “Sui gruppi di sostituzioni lineari con coefficienti appartenenti a corpi quadratici immaginarî”. Mathematische Annalen (Berlin/Heidelberg: Springer) 40: 332–412. doi:10.1007/BF01443558. ISSN 0025-5831. JFM 24.0188.02. LCCN 28-24764. OCLC 223702365.
Elstrodt, Juergen; Grunewald, Fritz; Mennicke, Jens (November 25, 1997). Groups Acting On Hyperbolic Spaces. Springer Monographs in Mathematics. Springer Verlag. ASIN 3540627456. ISBN 3-540-62745-6. NCID BA33867572. OCLC 851372121. Zbl 0888.11001
Fine, Benjamin (July 17, 1989). Algebraic theory of the Bianchi groups. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 129. New York: Marcel Dekker Inc.. ASIN 0824781929. ISBN 978-0-8247-8192-7. NCID BA07264649. MR1010229. OCLC 804027914. Zbl 0760.20014
Fine, B. (2001), “Bianchi group”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (November 14, 2002). The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. 219. Springer-Verlag. ASIN 0387983864. ISBN 0-387-98386-4. NCID BA60157321. OCLC 936525755. Zbl 1025.57001

外部リンク編集

Allen Hatcher, Bianchi Orbifolds

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