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フィッシャー情報量(フィッシャーじょうほうりょう、: Fisher information 統計学情報理論で登場する量で、確率変数母数に関して持つ「情報」の量を表す。統計学者ロナルド・フィッシャーに因んで名付けられた。

定義編集

 母数とし、 確率密度関数 で表される確率変数とする。 このとき、 尤度関数 

 

で定義され、スコア関数は対数尤度関数の微分

 

により定義される。このとき、フィッシャー情報量 はスコア関数の2次のモーメント

 

により定義される。紛れがなければ添え字の を省略し、 とも表記する。なお、 に関しては期待値が取られている為、フィッシャー情報量は の従う確率密度関数 のみに依存して決まる。よって  が同じ確率密度関数を持てば、それらのフィッシャー情報量は同一である。

スコア関数は

 

を満たす事が知られているので、

 

が成立する。ここで  分散を表す。

また が二回微分可能で以下の標準化条件

 

を満たすなら、フィッシャー情報量は以下のように書き換えることができる。

 

このとき、フィッシャー情報量は、 対数 についての2次の導関数にマイナスを付けたものになる。フィッシャー情報量は、 についての最尤推定量付近のサポート曲線の「鋭さ」としてもとらえることができる。例えば、「鈍い」(つまり、浅い最大値を持つ)サポート曲線は、2次の導関数として小さな値を持つため、フィッシャー情報量としても小さな値を持つことになるし、鋭いサポート曲線は、2次導関数として大きな値を持つため、フィッシャー情報量も大きな値になる。

フィッシャー情報行列編集

パラメータがN個の場合、つまり、 N次のベクトル であるとき、フィッシャー情報量は、以下で定義されるNxN 行列に拡張される。

 

これを、フィッシャー情報行列(FIM, Fisher information matrix)と呼ぶ。成分表示すれば、以下のようになる。

 

フィッシャー情報行列は、NxN正定値対称行列であり、その成分は、N次のパラメータ空間からなるフィッシャー情報距離を定義する。

 個のパラメータによる尤度があるとき、フィッシャー情報行列のi番目の行と、j番目の列の要素がゼロであるなら、2つのパラメータ、  直交である。パラメータが直交であるとき、最尤推定量が独立になり、別々に計算することができるため、扱いやすくなる。このため、研究者が何らかの研究上の問題を扱うとき、その問題に関わる確率密度が直交になるようにパラメーター化する方法を探すのに一定の時間を費やすのが普通である。

基本的性質編集

フィッシャー情報量は

 

を満たす。

また  独立な確率変数であれば、

  (フィッシャー情報量の加算性)

が成立する。すなわち、「  に関して持つ情報の量」は 「  に関して持つ情報の量」と 「  に関して持つ情報の量」の和である。

よって特に、無作為に取られたn個の標本が持つフィッシャー情報量は、1つの標本が持つフィッシャー情報量のn倍である(観察が独立である場合)。

Cramér–Raoの不等式編集

 の任意の不偏推定量 は以下のCramér–Rao(クラメール-ラオ)の不等式を満たす:

 

この不等式の直観的意味を説明する為、両辺の逆数を取った上で確率変数 への依存関係を明示すると、

 

となる。一般に推定量はその分散が小さいほど(よって分散の逆数が大きいほど)母数 に近い値を出しやすいので、「よい」推定量であると言える。 を「推定する」という行為は、「よい」推定量 を使って を可能な限り復元する行為に他ならないが、上の不等式は から算出されたどんな不偏推定量であっても が元々持っている「情報」以上に「よい」推定量にはなりえない事を意味する。

十分統計量との関係編集

一般に 統計量であるならば、

 

が成立する。すなわち、「 から計算される値 が持っている の情報」は「 自身が持っている の情報」よりも大きくない。

上式で等号成立する必要十分条件は 十分統計量であること。 これは  に対して十分統計量であるならば、ある関数 および が存在して

 

が成り立つ(ネイマン分解基準)事を使って証明できる。

カルバック・ライブラー情報量との関係編集

 を母数 を持つ確率変数とすると、カルバック・ライブラー情報量  とフィッシャー情報行列は以下の関係が成り立つ。

 

すなわちフィッシャー情報行列はカルバック・ライブラー情報量をテイラー展開したときの2次の項として登場する。(0次、1次の項は0)。

具体例編集

ベルヌーイ分布編集

ベルヌーイ分布は、確率θ でもたらされる「成功」と、それ以外の場合に起きる「失敗」という2つの結果をもたらす確率変数が従う分布である(ベルヌーイ試行)。例えば、表が出る確率がθ、裏が出る確率が1 - θであるような、コインの投げ上げを考えれば良い。

n回の独立なベルヌーイ試行が含むフィッシャー情報量は、以下のようにして求められる。なお、以下の式中で、A は成功の回数、B は失敗の回数、n =A +B は試行の合計回数を示している。対数尤度関数の2階導関数は、

 

であるから、

 

となる。但し、Aの期待値はn θB の期待値はn (1-θ )であることを用いた 。

つまり、最終的な結果は、

 

である。これは、n回のベルヌーイ試行の成功数の平均の分散の逆数に等しい。

ガンマ分布編集

形状パラメータα、尺度パラメータβのガンマ分布において、フィッシャー情報行列は

 

で与えられる。但し、ψ(α)はディガンマ関数を表す。

正規分布編集

平均μ、分散σ2正規分布N(μ, σ2)において、フィッシャー情報行列は

 

で与えられる。

多変量正規分布編集

N個の変数の多変量正規分布についてのフィッシャー情報行列は、特別な形式を持つ。

 

であるとし、  共分散行列であるとするなら、

  のフィッシャー情報行列、 の成分は以下の式で与えられる。

 

ここで、 はベクトルの転置を示す記号であり、 は、平方行列のトレースを表す記号である。また、微分は以下のように定義される。

 
 

関連項目編集