ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布（英: Bernoulli distribution）とは、数学において、確率 p で 1 を、確率 q = 1 − p で 0 をとる、離散確率分布である。ベルヌーイ分布という名前は、スイスの科学者ヤコブ・ベルヌーイに因んでつけられた名前である。

ベルヌーイ分布

確率質量関数
累積分布関数
母数	$0<p<1$
台	$\{0,1\}$
確率質量関数	${\begin{cases}q=(1-p)&{\text{for }}k=0\\p&{\text{for }}k=1\end{cases}}$
累積分布関数	${\begin{cases}0&{\text{for }}k<0\\1-p&{\text{for }}0\leq k<1\\1&{\text{for }}k\geq 1\end{cases}}$
期待値	$p$
中央値	${\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\\0.5&{\text{if }}q=p\\1&{\text{if }}q<p\end{cases}}$
最頻値	${\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\\0,1&{\text{if }}q=p\\1&{\text{if }}q<p\end{cases}}$
分散	$p(1-p)(=pq)$
歪度	${\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}$
尖度	${\frac {1-6pq}{pq}}$
エントロピー	$-q\ln(q)-p\ln(p)$
モーメント母関数	$q+pe^{t}$
特性関数	$q+pe^{it}$

X をベルヌーイ分布に従う確率変数とすれば、確率質量関数は

$P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=q=1-p$

である。これを

$P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k}\qquad (k=0,1)$

と一括することもできる。確率変数 X の平均は p, 分散は pq = p(1 − p) である。 ベルヌーイ分布は指数型分布族の一つである。

関連項目

• ベルヌーイ試行
• ベルヌーイ過程
• 二項分布