フィンスラー多様体(フィンスラーたようたい、: Finsler manifold)とは、可微分多様体 M であって各接空間 TxMミンコフスキー汎関数 F(x, −) (非対称のときもある) が与えられ、任意の滑らかな曲線 γ: [a, b] → M の長さが

であるものと定義される、微分幾何学の概念である。

正接ノルムが内積から誘導されていないことから、フィンスラー多様体はリーマン多様体よりも一般的な概念と言える。

フィンスラー多様体は、2点間の距離がそれらを結ぶ曲線の最小長で定義されるときintrinsic準距離空間になる。

ポール・フィンスラーがこの幾何学を研究し(Finsler 1918)、エリ カルタン (1933)がそのことにちなんでフィンスラー多様体と名付けた。

定義

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フィンスラー多様体は、可微分多様体 M であって、接束上の連続非負関数 F: TM → [0, +∞) であるフィンスラー計量がM の各点 x に対して、以下の性質をもつものである:

  • 劣加法性xM に正接する 2 つの任意ベクトル v,w に対して F(v + w) ≤ F(v) + F(w)
  • (正の斉次性)任意の λ ≥ 0 に対して Fv) = λF(v)
  • (正定値性)v = 0 でない限り F(v) > 0

つまり、F(x, −) は接空間 TxM 上の非対称ノルム英語版である。フィンスラー計量 F は「滑らか」である必要がある。より正確には

劣加法の条件は次の強い凸性条件に置き換えることができる:

ここで、v における F2ヘッシアン対称双線型形式

 

である。これは v における F の基本テンソルとも呼ばれる。強い凸性は、uF(u)vF(v) の場合に厳密な不等式による劣加法性を意味する。 F が強い凸性を持つならばそれは接空間のミンコフスキーノルムである。

さらに、

  • 任意の接ベクトル v に対して F(−v) = F(v)

のとき、フィンスラー計量は可逆であるという。可逆なフィンスラー計量は接空間の (通常の意味での) ノルムを定義する。

  • 有限次元のノルム線型空間の滑らかな部分多様体 (開部分集合を含む) は、ベクトル空間のノルムが原点の外側で滑らかならばフィンスラー多様体である。
  • 擬リーマン多様体ではない)リーマン多様体はフィンスラー多様体の特殊なケースである。

ランダース多様体

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(M, a) をリーマン多様体とし、bM 上の微分 1 形式

 

を満たすものとする。ここで aijaij の逆行列である。アインシュタインの縮約記法を用いている。すると

 

M 上のランダース計量を定義し、(M, F) は非可逆フィンスラー多様体の特殊なケースであるランダース多様体である[1]

滑らかな準距離空間

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(M, d)準距離とする。つまり M は可微分多様体であり、dM の微分構造と次の意味での互換性をもつ:

  • M の任意の点 z の近傍で滑らかな Mチャート (U, ϕ) と定数 C ≥ 1 が存在して、任意の x, yU に対して次が成り立つ:
     
  • 関数 d: M×M → [0, ∞] がいくつかpunctureされた対角の近傍の中で滑らか。

するとフィンスラー関数 F: TM → [0, ∞]

 

で定義できる。ここで γM の任意の曲線で γ(0) = x かつ γ′(0) = v を満たす。このように得られたフィンスラー関数 FM の接空間で非対称な(通常は非ミンコフスキー)ノルムに制限される。もともとの準距離から誘導されたintrinsicな計量 dL: M×M → [0, ∞]

 

で復元でき、実際、任意のフィンスラー関数 F: TM → [0, ∞) からこの式によって M 上のintrinsicな準計量 dL を定義できる。

測地線

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F の均一性により、M 上の微分可能な曲線 γ: [a, b] → M の長さ

 

は、正方向の再パラメーター化の下で不変である。等速曲線 γ は、もしその十分に短いセグメント γ|[c,d]γ(c) から γ(d) までの長さを最小化するなら、フィンスラー多様体の測地線である。同様に、もしエネルギー汎関数

 

が固定端点 γ(a) = x, γ(b) = y をもつ微分可能な曲線 γ 上でその汎関数微分が消えるという意味で定常なら、γ は測地線である。

フィンスラー多様体上の正準スプレー構造

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エネルギー汎関数 E[γ]オイラー・ラグランジュ方程式TM の局所座標系 (x1, ..., xn, v1, ..., vn)

 

である。ここで k = 1, ..., n、また gij は次で定義される基本テンソルの座標表現である:

 

v ∈ TxM に関して F2(x, v)強い凸性英語版を仮定すると、行列 gij(x, v)正則であり、その逆行列は gij(x, v) と表される。すると γ: [a, b] → M(M, F) の測地線である必要十分条件は、接曲線 γ′: [a, b] → TM∖{0} が TM∖{0} 上で次式によって局所的に定義された滑らかなベクトル場 H の積分曲線であることである:

 

ここで局所スプレー係数 Gi は次式で与えられる:

 

TM∖{0} 上のベクトル場 HJH = V および [V, H] = H を満たす。ここで J, VTM∖{0} の正準準同型英語版および正準ベクトル場である。したがって定義より HM 上のスプレー英語版である。スプレー H は垂直投影を介してファイバー束 TM∖{0} → M非線形接続を定義する。

 

リーマン多様体の場合と同様、Ehresmann曲率英語版と非線形共変微分に関して、一般的なスプレー構造 (M, H) に対するヤコビ方程式のバージョン

 

が存在する。

測地線の一意性と最小化の性質

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Hopf-Rinowの定理英語版により、(M, F) 上には長さを最小化する曲線が (少なくとも十分に近い近傍で) 常に存在する。 長さを最小化する曲線は正の値で再パラメータ化して測地線にすることが常にでき、どの測地線も E[γ] に対してオイラー・ラグランジュ方程式を満たさなければならない。F2 の強い凸性を仮定すると、積分曲線の一意性により、任意の (x, v) ∈ TM∖{0} に対して γ(0) = x および γ′(0) = v を満たす最大の測地線 γ が一意に存在する。

F2 が強い凸性をもつなら、測地線 γ: [0, b] → M は、γ に沿って γ(0)共役する最初の点 γ(s) まで、近くの曲線間で長さを最小化し、リーマン多様体の場合のように、t > s の場合、γの近くにγ(0) から γ(t) までのより短い曲線が常に存在する。

脚注

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  1. ^ Randers, G. (1941). “On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity”. Phys. Rev. 59 (2): 195–199. doi:10.1103/PhysRev.59.195. hdl:10338.dmlcz/134230. 

参考文献

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外部リンク

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