リー環のコホモロジー

数学において、リー環のコホモロジー（英: Lie algebra cohomology）とは、リー環に対するコホモロジー論である。それは Chevalley and Eilenberg (1948) によって、コンパクトリー群の位相空間としてのコホモロジーの代数的構成を与えるために、定義された。上の論文では、コシュール複体と呼ばれる鎖複体がリー環上の加群に対して定義され、そのコホモロジーが普通の意味で取られる。

動機付け

G がコンパクト単連結リー群のとき、G はそのリー環によって決定され、したがってそのコホモロジーはリー環から計算できるはずである。これは次のようにしてできる。そのコホモロジーは G 上の微分形式の複体のド・ラームコホモロジーである。これは同変微分形式の複体に置き換えることができ、それは今度は適切な微分でリー環の外積代数と同一視できる。外積代数のこの微分の構成は任意のリー環に対して意味をなし、したがってすべてのリー環に対してリー環のコホモロジーを定義するのに使われる。より一般に加群に係数を持つリー環のコホモロジーを定義するために類似の構成を用いる。

定義

${\mathfrak {g}}$ を可換環 R 上のリー環、$U{\mathfrak {g}}$ をその普遍包絡環とし、M を ${\mathfrak {g}}$ の表現とする（同じことだが $U{\mathfrak {g}}$-加群とする）。R を ${\mathfrak {g}}$ の自明表現と考え、コホモロジー群

$\mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)$

を定義する（Ext の定義は Ext関手を参照）。同じことだが、これらは左完全不変部分加群関手

$M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}$

の右導来関手である。

同様に、リー環のホモロジーを

$\mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)$

と定義でき（Tor の定義は Tor関手を参照）、これは右完全余不変関手

$M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.$

の左導来関手と同値である。

リー環のコホモロジーについての重要な基本的な結果の中にはホワイトヘッドの補題、ワイルの完全可約性定理、レヴィ分解定理がある。

シュバレー・アイレンバーグ複体

体 k 上のLie環 ${\mathfrak {g}}$ の左 ${\mathfrak {g}}$-加群 M に値を持つリー環コホモロジーはシュバレー・アイレンバーグ複体 $\mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\ast }{\mathfrak {g}},M)$ を用いて計算できる。この複体の n-コチェインは M に値を持つ n 変数の交代 k-多重線型関数 $f:\Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M$ である。n コチェインのコバウンダリは次で与えられる (n + 1)-コチェイン δf である：

$(\delta f)(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1})+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f([x_{i},x_{j}],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1})\,,$

ただしキャレットはその引数を除くことを意味する。

小さい次元のコホモロジー

0次コホモロジー群は（定義により）加群に作用するリー環の不変加群である：

$H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.$

1次コホモロジー群は内部微分の空間 Ider を法とした微分の空間 Der である：

$H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)$

ただし微分はリー環から M への写像 d で

$d[x,y]=x\,dy-y\,dx~$

なるもので、それが内部微分とはそれがある a ∈ M で

$dx=xa~$

で与えられることをいう。

2次コホモロジー群

$H^{2}({\mathfrak {g}};M)$

はリー環の加群 M によるリー環の拡大

$0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0$

の同値類の空間である。

より高次のコホモロジー群に対しては同様の易しい解釈は無いようである。

関連項目

• BRST formalism（理論物理学）

参考文献

• Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel (1948), “Cohomology Theory of Lie Groups and Lie Algebras”, Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society) 63 (1): 85–124, doi:10.2307/1990637, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990637, MR0024908, https://jstor.org/stable/1990637 
• Hilton, P. J.; Stammbach, U. (1997), A course in homological algebra, Graduate Texts in Mathematics, 4 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94823-2, MR1438546 
• Knapp, Anthony W. (1988), Lie groups, Lie algebras, and cohomology, Mathematical Notes, 34, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08498-5, MR938524