ループのアイソトピー

数学の 抽象代数学分野に於いて、アイソトピー (または イソトピー 英: isotopy) とは、ループ の代数的概念を分類するために使われる同値関係である。

ループおよび準群のアイソトピーは、 Albert (1943) によって導入された。

準群のアイソトピー

任意の準群は、あるループとアイソトピックである。

$(Q,\cdot )$ と $(P,\circ )$ を 準群 とする。 Q から P への 準群ホモトピー (英: quasigroup homotopy) とは、 Q から P への写像の三つ組み (α, β, γ) であって、以下の条件を満たす者である。

$\alpha (x)\circ \beta (y)=\gamma (x\cdot y)\,\quad \forall x,y\in Q$

準群の準同型 (英: quasigroup homomorphism) とは、単に、これら三つの写像がすべて同じ写像であることと定義する。

アイソトピー (または イソトピー とも発音する、英: isotopy) は、ホモトピーの特殊なケースであって、三つの写像 (α, β, γ) が 全単射　である。二つの準群が アイソトピック (イソトピック 英:isotopic) とは、それらの準群の間にアイソトピーが存在することと定義される。ラテン方格 の言葉で言い換えると、アイソトピー (α, β, γ) は、行の置換 α、列の置換 β、 そして γ は、表内の P の要素集合の置換に相当する。

オートトピー (英: autotopy) は、 $(Q,\cdot )$ からそれ自身へのアイソトピーであり。準群のすべてのオートトピーの集合は、自己同型群 を部分群とする群を成す 。

主アイソトピー (英: principal isotopy) とは、アイソトピーで特に、γ が Q 上の恒等写像であること。 この場合は、二つの準群は台集合は同じでなければならないが、その乗算は異なる場合もあり得る 。

ループのアイソトピー

$(L,\cdot )$ と $(K,\circ )$ をループとし、$(\alpha ,\beta ,\gamma ):L\to K$ をアイソトピーとする。 この時、(そのアイソトピー) は主アイソトピー $(L,\cdot )$ と $(L,*)$ の $(\alpha _{0},\beta _{0},id)$ と、同型写像 $(L,*)$ と$(K,\circ )$ 間の $\gamma$ を使って、それらの合成 になっている 実際、$\alpha _{0}=\gamma ^{-1}\alpha$, $\beta _{0}=\gamma ^{-1}\beta$ とおいて、演算を $*$ by $x*y=\alpha ^{-1}\gamma (x)\cdot \beta ^{-1}\gamma (y)$ で定義する。

$(L,\cdot )$ と $(L,\circ )$ をループとし、e を 単位元 of $(L,\cdot )$ とする。さらに $(\alpha ,\beta ,id)$ を $(L,\cdot )$ to $(L,\circ )$ への主アイソトピーとする。この時 $\alpha =R_{b}^{-1}$ および $\beta =L_{a}^{-1}$ ここで $a=\alpha (e)$ and $b=\beta (e)$.

ループ L が G-loop であるとは、それがすべてのループアイソトープループと同型であることと定義される。

ループの疑似自己同型

L をループ、c を L の元とする。 L の全単射 α は任意の x, y に対して、下記の恒等式を満たすこ時、c を コンパニオン要素 とする右疑似同型 (英: right pseudo-automorphism of L with companion element c) と呼ばれる：

$\alpha (xy)c=\alpha (x)(\alpha (y)c)$

同様に、左疑似同型 (英: left pseudo-automorphisms) も定義される。

ユニバーサル性

ループについてのある性質 P が ユニバーサル (普遍的、英: universal) であるとは、その性質が、アイソトピー不変であることと定義される。すなわち、ループ L においてある性質 P が成り立つか否かと、L のイソトープなループでも同様に性質 P が成り立つか否かが一致していることである。明らかに、L の主アイソトープについて P が成り立つかどうかをチェックすれば十分である。

例として、可換ループのアイソトープは、必ずしも可換とは限らないので、可換性 はユニバーサルではない。 しかし、別の例として、結合性はユニバーサルである。アーベル群であるという性質もユニバーサルな性質である。 実際、任意の群は、G-loop である 。

アイソトピーの幾何学的実行

与えられたループ L に対して、3-net と呼ばれる 入社幾何 学的構造を定義することができる。 逆に、原点と直線クラスの 順序 を固定すると、3-net はループを発生させる。 別の原点を選択したり、直線クラスを交換したりすると、非同型座標のループが発生する可能性もある 。 しかしながら、座標ループ は常にアイソトピックである。 言い換えると、二つのループがアイソトピックであるのは、幾何学的な観点から同値であるとき、またその時に限る。

代数学と幾何学の概念の間の対応は下記の通りである。

• ループのオートトピーの成す群は、3-net の 共線変換 を保存する 群の方向 に対応
• 疑似自己同型は、座標系の二つの軸を固定する共線変換に対応。
• コンパニオン要素の集合は、共線変換群における軸のスタビライザの軌道に対応。
• ループが G-loop である iff. 共線変換の群の作用が 3-net の点の集合に推移的に作用するとき、またその時に限る。
• 性質 P がユニバーサルである iff. 原点の選択に依存しない 。

関連項目

• Isotopy of an algebra

脚注

参考文献

• Albert, A. A. (1943), “Quasigroups. I.”, Trans. Amer. Math. Soc. 54: 507–519, doi:10.1090/s0002-9947-1943-0009962-7, MR0009962 
• Kurosh, A. G. (1963), Lectures on general algebra, New York: Chelsea Publishing Co., MR0158000