数学において次の恒等式をワトソンの五重積 (ワトソンのごじゅうせき、Watson Quintuple Product) という。
∑
n
=
−
∞
∞
q
n
(
3
n
+
1
)
(
z
3
n
−
z
−
3
n
−
1
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
−
q
2
m
z
)
(
1
−
q
2
m
−
2
z
−
1
)
(
1
−
q
4
m
−
2
z
2
)
(
1
−
q
4
m
−
2
z
−
2
)
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})}
ヤコビの三重積 により
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
q
n
(
n
+
1
)
z
n
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
2
m
)
(
1
−
q
2
m
z
)
(
1
−
q
2
m
−
2
z
−
1
)
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}z^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})}
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
q
2
n
2
z
2
n
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
4
m
)
(
1
−
q
4
m
−
2
z
2
)
(
1
−
q
4
m
−
2
z
−
2
)
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{2n^{2}}z^{2n}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})}
オイラーの五角数定理 により
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
q
2
n
(
3
n
−
1
)
=
∏
m
=
1
∞
(
1
−
q
4
m
)
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{2n(3n-1)}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})}
これらを用いて五重積の公式を書き直せば
∑
m
=
−
∞
∞
(
−
1
)
m
q
2
m
(
3
m
−
1
)
∑
n
=
−
∞
∞
q
n
(
3
n
+
1
)
(
z
3
n
−
z
−
3
n
−
1
)
=
∑
j
=
−
∞
∞
(
−
1
)
j
q
j
(
j
+
1
)
z
j
∑
k
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
q
2
k
2
z
2
k
{\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{2m(3m-1)}\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{j}q^{j(j+1)}z^{j}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}q^{2k^{2}}z^{2k}}
となるので、この両辺が等しいことを証明する。左辺は
L
=
∑
m
=
−
∞
∞
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
m
q
2
m
(
3
m
−
1
)
+
n
(
3
n
+
1
)
(
z
3
n
−
z
−
3
n
−
1
)
=
∑
m
=
−
∞
∞
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
m
q
2
m
(
3
m
−
1
)
+
n
(
3
n
+
1
)
z
3
n
−
∑
m
=
−
∞
∞
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
m
q
−
2
m
(
−
3
m
−
1
)
−
n
(
−
3
n
+
1
)
z
3
n
−
1
(
m
,
n
↦
−
m
,
−
n
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
−
n
q
(
3
n
−
2
k
)
(
3
n
+
1
−
2
k
)
+
2
k
2
z
3
n
−
∑
k
=
−
∞
∞
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
−
n
q
(
3
n
−
1
−
2
k
)
(
3
n
−
2
k
)
+
2
k
2
z
3
n
−
1
(
m
↦
k
−
n
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
3
n
−
k
q
(
3
n
−
2
k
)
(
3
n
+
1
−
2
k
)
+
2
k
2
z
3
n
+
∑
k
=
−
∞
∞
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
3
n
−
1
−
k
q
(
3
n
−
1
−
2
k
)
(
3
n
−
2
k
)
+
2
k
2
z
3
n
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}L&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}z^{3n}-\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{-2m(-3m-1)-n(-3n+1)}z^{3n-1}\qquad ({m,n}\mapsto {-m,-n})\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-n}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^{2}}z^{3n}-\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-n}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2k^{2}}z^{3n-1}\qquad (m\mapsto {k-n})\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{3n-k}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^{2}}z^{3n}+\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{3n-1-k}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2k^{2}}z^{3n-1}\\\end{aligned}}}
さて
0
=
∑
m
=
0
∞
(
−
1
)
m
q
m
(
m
+
1
)
−
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
q
n
(
n
+
1
)
=
∑
m
=
−
∞
∞
(
−
1
)
m
q
m
(
m
+
1
)
(
n
↦
−
(
m
+
1
)
)
=
∑
m
=
−
∞
∞
(
−
1
)
m
(
q
6
)
m
(
m
−
1
)
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
2
n
−
2
q
3
n
2
−
3
n
+
2
z
3
n
−
2
=
∑
m
=
−
∞
∞
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
m
+
2
n
−
2
q
6
m
(
m
−
1
)
+
3
n
2
−
3
n
+
2
z
3
n
−
2
=
∑
k
=
−
∞
∞
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
3
n
−
2
−
k
q
(
3
n
−
2
−
2
k
)
(
3
n
−
1
−
2
k
)
+
2
j
2
z
3
n
−
2
(
m
↦
n
−
k
)
{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}q^{m(m+1)}-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{m(m+1)}\qquad (n\mapsto {-(m+1)})\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}(q^{6})^{m(m-1)}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{2n-2}q^{3n^{2}-3n+2}z^{3n-2}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m+2n-2}q^{6m(m-1)+3n^{2}-3n+2}z^{3n-2}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{3n-2-k}q^{(3n-2-2k)(3n-1-2k)+2j^{2}}z^{3n-2}\qquad (m\mapsto {n-k})\\\end{aligned}}}
であるから
L
=
L
+
0
=
∑
k
=
−
∞
∞
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
−
k
q
(
n
−
2
k
)
(
n
+
1
−
2
k
)
+
2
k
2
z
n
(
3
n
,
3
n
−
1
,
3
n
−
2
↦
n
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
∑
j
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
+
j
q
j
(
j
+
1
)
+
2
k
2
z
j
+
2
k
(
n
↦
j
+
2
k
)
=
∑
j
=
−
∞
∞
(
−
1
)
j
q
j
(
j
+
1
)
z
j
∑
k
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
q
2
k
2
z
2
k
{\displaystyle {\begin{aligned}L=L+0&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-k}q^{(n-2k)(n+1-2k)+2k^{2}}z^{n}\qquad ({3n,3n-1,3n-2}\mapsto {n})\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{k+j}q^{j(j+1)+2k^{2}}z^{j+2k}\qquad ({n}\mapsto {j+2k})\\&=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{j}q^{j(j+1)}z^{j}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}q^{2k^{2}}z^{2k}\\\end{aligned}}}
となり、右辺を得る。
^ Yan, Q. (2009). A new proof of the septuple product identity. Discrete Mathematics, 309(8), 2589-2591.
^ Chapman, R. (1999). On a septuple product identity.
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Alladi, K. (1996). The quintuple product identity and shifted partition functions. en:Journal of Computational and Applied Mathematics , 68(1-2), 3-13.
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