余接定理 （よせつていり）[1] 三角形 の辺の長さと3つの角の半分の余接 の関係を表す三角法 の定理である。余接法則とも呼ばれる。
回避三角形の内接円による辺の分割。角の二等分線は内心（内接円の中心）で交わる。 図のように a , b , c A , B , C α , β , γ 半周長 を s = a + b + c / 2 r 内接円 の半径とすると、以下の式が成立する。
cot
(
α
2
)
s
−
a
=
cot
(
β
2
)
s
−
b
=
cot
(
γ
2
)
s
−
c
=
1
r
{\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}{s-b}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{s-c}}={\frac {1}{r}}}
また、r について、
r
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
.
{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.}
図のように、内接円と辺の接点において三角形の3辺が3組6本の線分に分割され、それぞれの組の線分の長さは等しく、各組から1本ずつ選んだ3線分の長さの和が半周長に等しい。
内接円の半径と辺は垂直に交わるから、余接の定義より、
cot
(
α
2
)
=
s
−
a
r
{\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {s-a}{r}}\,}
ここで、
s
−
a
=
c
+
b
−
a
2
{\displaystyle s-a={\frac {c+b-a}{2}}}
三角形の成立条件より
c
+
b
−
a
>
0
{\displaystyle c+b-a>0}
s
−
a
>
0
{\displaystyle s-a>0}
∴
cot
(
α
2
)
s
−
a
=
1
r
{\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {1}{r}}\,}
他の角においても同様に示される。
また、式（2）については、以下の式を適用する。
cot
(
u
+
v
+
w
)
=
cot
u
+
cot
v
+
cot
w
−
cot
u
cot
v
cot
w
1
−
cot
u
cot
v
−
cot
v
cot
w
−
cot
w
cot
u
.
{\displaystyle \cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.}
u
=
α
2
{\displaystyle u={\frac {\alpha }{2}}}
v
=
β
2
{\displaystyle v={\frac {\beta }{2}}}
w
=
γ
2
{\displaystyle w={\frac {\gamma }{2}}}
cot( α / 2 β / 2 γ / 2 ) π / 2 より、
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
cot
(
γ
2
)
=
cot
(
α
2
)
+
cot
(
β
2
)
+
cot
(
γ
2
)
.
{\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right).}
よって、式（*1）より
(
s
−
a
)
r
(
s
−
b
)
r
(
s
−
c
)
r
=
s
−
a
r
+
s
−
b
r
+
s
−
c
r
=
3
s
−
2
s
r
=
s
r
.
{\displaystyle {\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {3s-2s}{r}}={\frac {s}{r}}.}
辺々にr 3 / s
他の公式の証明
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余接定理により正接定理 が証明されるほか、以下のように他のいくつかの公式の証明にも適用される。
ヘロンの公式
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辺と同様に三角形ABC A s − a r 1 / 2 r (s − a )r (s − a )
よって、三角形ABC S
S
=
r
(
s
−
a
)
+
r
(
s
−
b
)
+
r
(
s
−
c
)
=
r
(
3
s
−
(
a
+
b
+
c
)
)
=
r
(
3
s
−
2
s
)
=
r
s
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\&=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs.\end{aligned}}}
∴
S
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
モルワイデの公式
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和の公式と余接定理より、
sin
(
α
2
−
β
2
)
sin
(
α
2
+
β
2
)
=
cot
(
β
2
)
−
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
+
cot
(
α
2
)
=
a
−
b
2
s
−
a
−
b
.
{\displaystyle {\frac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.}
∴
a
−
b
c
=
sin
(
α
2
−
β
2
)
cos
(
γ
2
)
{\displaystyle {\dfrac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}
和の公式と余接定理より、
cos
(
α
2
−
β
2
)
cos
(
α
2
+
β
2
)
=
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
+
1
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
−
1
=
cot
(
α
2
)
+
cot
(
β
2
)
+
2
cot
(
γ
2
)
cot
(
α
2
)
+
cot
(
β
2
)
=
4
s
−
a
−
b
−
2
c
2
s
−
a
−
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}
和積公式を適用して整理すれば、
b
+
a
c
=
cos
(
α
2
−
β
2
)
sin
(
γ
2
)
{\displaystyle {\dfrac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}
関連項目
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^ The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
参考文献
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Silvester, John R. (2001), Geometry: Ancient and Modern , Oxford University Press, pp. 313, ISBN 9780198508250 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092aee26c4576ac92546235eb7c041945528218c)
