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五角形とその内接円

初等幾何学において、与えられた多角形内接円(ないせつえん、: incircle)は、その多角形に内接 (inscribe) する—この場合はその多角形の内部にあり全てのに接する—円を言う。内接円の中心を内心 (incenter) という。

全ての多角形に内接円が存在するわけではないが、全ての三角形正多角形には内接円が存在する。内接円が存在する場合、その多角形の内部にある最大面積の円になる。

目次

三角形の内接円編集

 
三角形の内接円と角の二等分線
 
三角形において、ある頂点と、その対辺の垂直二等分線の延長線上にある外接円(円周)との交点(対辺からみて三角形の外側の方)を結ぶ直線は、 その頂点の内角を二等分する直線となっている。(図中に緑の直線で示される。それらの交点は当該三角形の内接円の中心となっている。)

任意の三角形に内接円が存在する。内心は3つの角の二等分線の交点である。

内接円の他に、三角形の外部に1辺と2辺の延長線に接する円が存在する。これを傍接円という。傍接円は1つの三角形に対し3つ存在する。

四角形の内接円編集

四角形に内接円が存在する必要十分条件は

  • 全ての内角が180度以下
  • AB + CD = BC + DA

である。凧形菱形などが該当する。

内接円の中心と2本の対角線の中点は、同一直線上にある(ニュートンの定理)。

内接円・外接円の両方を持つ四角形を双心四角形という。

一般の多角形の内接円編集

多角形に内接円が存在する場合、その半径は

半径 = 2 × 面積 ÷ 周長

で求められる。

関連項目編集

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Incircle". MathWorld(英語).
  • Weisstein, Eric W. "Incenter". MathWorld(英語).
  • incircle - PlanetMath.(英語)
  • incenter - PlanetMath.(英語)
  • Definition:Incircle at ProofWiki