初等幾何学

初等幾何学(しょとうきかがく、: elementary geometry[1])は、二次元(点や直線や円など)・三次元(錘体や球など)の図形をユークリッド幾何学的に扱う数学幾何学の分野である[1]

目次

概説編集

ユークリッド幾何学的方法とは図形を直接取り扱う方法であり[1]補助線などを用いて基本的原理である公理系や定義から平面・空間における具体的かつ幾何学的な命題・定理を証明していく方法であって、19世紀には総合幾何学とも呼ばれた[2]。総合幾何学はまた純粋幾何学と呼ばれることもある。

解析幾何学のように座標代数的式を用いたり、微分幾何学のように解析学を用いたりしないものである[1][2]。初等幾何学で扱われる対象が経験的かつ直感的であるため、このように命名されたものと考えられているが[1]、数学において初等といえば必ずしもやさしいなどといった意味ではなく、歴史的に最も古い分野の一つであるが[1]、近代においても定理が発見されているため、ユークリッド原論などによって完成された分野ではない。例えばラングレーの問題なども、20世紀に入ってから出された問題である。

総合幾何学は古典的な射影幾何学も包含し、初等幾何学における問題は何らかの定理や命題を証明するもののほかに、定規とコンパスによる作図問題が有名である。作図問題では、定規は直線を引くためだけに用い、長さを測定してはならず、コンパスは円を書くためだけに用い、書き終わったらただちに紙から離してすぐに閉じねばならない[3]。つまり、定規やコンパスを用いて長さを測定したり、分度器を使ったりする行為すら初等幾何学においては禁止されており、例えば2つの辺の長さが1である直角二等辺三角形の斜辺の長さは   であるが、これも初等幾何学における証明や作図行為においては定規で長さを測っては[4]いけないわけである。

教育編集

初等幾何学の公理系は、古代から長らくユークリッドによって完成されたと思われており、多くの数学者や科学者や哲学者などによって批判的に検討されたが、とくに19世紀後半以降にユークリッド幾何学の公理系が本当に間違っていないのか、矛盾しないのかどうか徹底的に検証され、ヒルベルトによって幾何学基礎論によってその成果がまとめられた。20世紀に入ってからも、コクセターは総合幾何学的方法を重視したし、ジャン・デュドネは線形代数など代数的・解析的手法を応用して図すら使わず、抽象的にその基礎付けを与えたりした。デュドネがユークリッド幾何学の教育からの追放を提唱したことで、日本も彼の影響を受けた。

教育においては長らく重視されてきたが、幾何学基礎論による批判なども相次ぎ、もっと厳密な数学を教えるべきだと一時期取沙汰され、デュドネの著書もそのような流れで執筆されたものである。日本でも明治から戦後まもないころまでは初等幾何学や解析幾何学が体系的に教えられていたが、その後、いわゆる「現代化」[5]などもあり、学校教育からは初等幾何学は大幅に削減された[6]小平邦彦など、過度に厳密すぎるのもかえって問題ではないかと抵抗した数学者・科学者[7]もいる。

そもそも数学的観点以前の、教育自身の問題として「現代化」は反省の対象であったし[8]、一方で数学教育全体の観点からは、以前は専門教育でしか扱われなかった行列など、実際に現代の科学(物理)や技術や工学で絶対に必要なものをカリキュラムに追加しなければならなかったという事情などもあり、一方的な観点から語ることはできない。学習指導要領の変遷の上で[9]出たり入ったりを繰り返すといった項目があっても、一時期完全に削除の対象になったのは初等幾何学だけである。

現況編集

以前は、学習指導要領の改訂の度に初等幾何学は削減が定向となっており、一時期の高校数学からは完全に姿を消していた。しかし、1990年代以降に注目されるようになった国際数学オリンピックなどにおいて、日本勢の幾何感覚の薄さが取り沙汰されたことなどによる見直しなどもあり、2016年現在、初等幾何学が部分的[10]に復活しており、京都大学の2009年度の入試問題乙の問2が話題[11]となった。ただし、平面幾何を学習指導要領から削除した期間が思いのほか長く、大学入試問題に平面幾何を採用する動きはさほど大きくない。2015年大学入試から開始された新学習指導要領では、初等幾何学は「図形の性質」として大学入試センター試験に選択問題として出題されている。[12]

また、イギリスの J. F. Rigbyの手でも解けなかったラングレーの問題の拡張が、yahooアカウントaerile_reによって証明され[13]話題になるなど、初等幾何学はインターネット上では時折話題になるトピックの一つとなっている。

脚注編集

  1. ^ a b c d e f 矢野健太郎編、東京理科大学数学教育研究所第2版 編集『数学小辞典』、共立出版、2010年、「初等幾何学」より。ISBN 978-4-320-01931-7
  2. ^ a b 青本和彦、上野健爾、加藤和也、神保道夫、砂田利一、高橋陽一郎、深谷賢治、俣野博、室田一雄 編著『岩波数学入門辞典』、岩波書店、2005年、「初等幾何学」より。ISBN 4-00-080209-7
  3. ^ 小林昭七『円の数学』、裳華房、1999年。ISBN 978-4-7853-1516-0
  4. ^ 測定値を証明などに利用しては
  5. ^ 数学教育の文脈で、いわゆる「現代化」と言った場合、新しい数学英語版(New Math)と呼ばれた(日本では「新数学」などとも)固有の教育改革の潮流を指す。
  6. ^ 小林幹雄、『復刊初等幾何学』、共立出版、〈復刊・復刻・新装版〉、2010年、まえがき参照。ISBN 978-4-320-01930-0
  7. ^ 数学外を専門としていた者による意見としては、物理学者の伏見康治は『折り紙の幾何学』で、初等幾何学を教えなくなっているという現実を息子から聞いて愕然とし「ヤノケン氏は何をしていたのであろう(中略)叱咤激励しなければならない」(同書 p. 82)と書いている。しかし、矢野健太郎は自身のモノグラフ公式集から初等幾何学の削除はしなかった。
  8. ^ 『数学教育現代化の失敗 ジョニーはなぜたし算ができないか』などを参照
  9. ^ 外部リンク webcache.googleusercontent.comからのアーカイブ、27 Apr 2017 12:15:33 UTC閲覧。
  10. ^ チェバメネラウス以外の人物の定理は依然として要領から外されている。学習参考書においても、重視はされていない。
  11. ^ 外部リンク
  12. ^ 2015年入試から開始された新課程は授業時間削減の弊害から図形の性質と整数の性質を「どちらかを必修とする」ため、このような措置が取られている。
  13. ^ 外部リンク

参考図書編集

関連人物編集

関連項目編集