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分散関係(ぶんさんかんけい、: dispersion relation[1])は、において、角周波数(角振動数)と波数の間の関係。特に角周波数 ω を波数 k関数で表したのことを言う。量子力学においては、波動関数の波数は粒子運動量に、周波数はエネルギーに相当するので、運動量とエネルギーの間の関係式を粒子の分散関係と呼ぶことも多い。

目次

概要編集

フーリエ変換により、波動は特定の波数 k のみを持つ、単色波 ei(kxωt) の集まりに分解することができる。このとき、波数 k と角周波数 ω が、の性質に応じて満たす関係

 

を、分散関係 (dispersion relation)、または分散式 (dispersion formula) という。波数と角周波数の対応関係が複数存在する場合もあり、それぞれの関係を波のモードと呼ぶことがある。

分散関係が与えられると、波動の性質を示すいくつかの重要な指標を導くことができる。

分散がある・ない編集

波数と角周波数が比例関係

 

で表されるときに、分散がないという。また、波数と角周波数が比例関係にない場合、系は分散的もしくは分散系であるという。分散がない波においては、

 

となり、各単色波の成分は波数に依らず、一定速度 v で進むため、波形が崩れず、そのまま伝播する。

位相速度と群速度編集

波の位相部分が一定 kxωt = φo で伝わる速度 vp は、これを時間で微分して、

 

で与えられる。これを位相速度という。また、一方で様々な波数を持つ波の集まりである波束において、その群速度は、

 

で与えられる。

分散がない場合には、

 

であるから、「分散がない」という条件は「位相速度と群速度が一致する」ことと等価である。

通常の波動方程式

 

に従う波動現象においては、ei(kxωt) を考えると、

 

の関係が満たされており、分散がない波となる。

光学における分散編集

自然光などの白色光プリズムに通すと、透過した光は虹のように各色ごとに分光される。この現象は光学においては分散と呼ばれる。これは、白色光が角振動数の異なる電磁場から構成されており、媒質となるプリズム中においてそれぞれの屈折率 n が角振動数 ω によって異なることに起因する。このとき、媒質中を伝播する電磁波の位相速度は、角振動数に依存する屈折率 n(ω)真空中の光速 c を用いて、

 

と表される。このとき、対応する分散関係は

 

となる。分散関係という語は、光学におけるこの分散現象に由来する。

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水面波編集

深さが h である水の層において、重力表面張力を考慮した水面波の分散関係は以下を満たす[2]

 

ここで、g重力加速度σ は表面張力の強さ、ρ水の密度である。

フォノン編集

固体におけるフォノンのモデルとして、2 種類の原子から構成される一次元の格子の振動を考える。このとき、この格子系の周期2a とし、2つの原子の質量を m1, m2、結合の定数を f とすると、分散関係は

 

となる[3][4]。符号が の場合が音響モードに対応し、+ の場合が光学モードに相当する。特に |q| → 0 としたときの長波長極限において、音響モードでは、

 

光学モードでは

 

となる。

相対論的な電子編集

相対論場の量子論において、電子ディラック方程式で記述される。このとき、電子は以下の分散関係を満たす[5]

 

ここで、m は電子質量、c光速である。

脚注編集

参考文献編集

  • 文部省日本物理学会編『学術用語集 物理学編』培風館、1990年。ISBN 4-563-02195-4[リンク切れ]
  • 巽, 友正『流体力学』培風館〈新物理学シリーズ 21〉、1995年。ISBN 978-4563024215
  • Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Solid State Physics. Thomson Learning. 
    • アシュクロフト, N. W.、マーミン, N. D.『固体物理の基礎 (下・1) 固体フォノンの諸問題』松原, 武生(訳)、町田, 一成(訳)、吉岡書店〈物理学叢書 48〉、1982年。ISBN 978-4842702025
  • 西島, 和彦『相対論的量子力学』培風館〈新物理学シリーズ 13〉、1973年。ISBN 978-4563024130

関連項目編集