分解型八元数

定義

ケーリー＝ディクソン構成

${\displaystyle (a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})\quad (\lambda :=\ell ^{2})}$

なる規則から定められる[1]。ここで λ = −1 と選べば通常の八元数である。その代わりに、λ = +1 として分解型八元数が得られる。

あるいは、をケイリー–ディクソン構成で二重化しても分解型八元数を得ることができる（この場合、λ±1 の何れの値を選んでも分解型になる）。

乗積表

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x_{4}\ell +x_{5}\ell i+x_{6}\ell j+x_{7}\ell k}$

と書かれる。

 ${\displaystyle 1}$  ${\displaystyle i}$  ${\displaystyle j}$  ${\displaystyle k}$  ${\displaystyle \ell }$  ${\displaystyle \ell i}$  ${\displaystyle \ell j}$  ${\displaystyle \ell k}$ 右因子 左因子 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell i}$ ${\displaystyle \ell j}$ ${\displaystyle \ell k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle -j}$ ${\displaystyle -\ell i}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle -\ell k}$ ${\displaystyle \ell j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle -k}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle -\ell j}$ ${\displaystyle \ell k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle -\ell i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle -\ell k}$ ${\displaystyle -\ell j}$ ${\displaystyle \ell i}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell i}$ ${\displaystyle \ell j}$ ${\displaystyle \ell k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell i}$ ${\displaystyle -\ell }$ ${\displaystyle -\ell k}$ ${\displaystyle \ell j}$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle -j}$ ${\displaystyle \ell j}$ ${\displaystyle \ell k}$ ${\displaystyle -\ell }$ ${\displaystyle -\ell i}$ ${\displaystyle -j}$ ${\displaystyle -k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ell k}$ ${\displaystyle -\ell j}$ ${\displaystyle \ell i}$ ${\displaystyle -\ell }$ ${\displaystyle -k}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle 1}$

スカラーである基底元を e0 として ${\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k}\ (i,j,k=1,\cdots ,7)}$  および ${\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\quad e_{0}e_{0}=e_{0}}$

から導かれる。ここで、δijクロネッカーのデルタεijkエディントンのイプシロン（これが +1 の値を取るのは

(i, j, k) = (1, 2, 3), (1, 5, 4), (1, 7, 6), (2, 6, 4), (2, 5, 7), (3, 7, 4), (3, 6, 5)

のとき）である。

共軛・ノルム・逆元

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}i-x_{2}j-x_{3}k-x_{4}\ell -x_{5}\ell i-x_{6}\ell j-x_{7}\ell k}$

で与えられる（これは八元数の場合と同じ）。

xノルム（計量二次形式）は

${\displaystyle N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2})}$

で与えられる。非零八元数 xN(x) = 0 となるもの（等方元）が存在するから、このノルム N(x)等方二次形式である。ノルム N を考えることで、分解型八元数の全体は 上八次元のとなる（これをしばしばノルムの符号数を明示して 4,4 と書く）。

N(x) ≠ 0 ならば x は（両側）逆元 x−1 を持ち、

${\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}}$

で与えられる。

ツォルンのベクトル行列代数

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{pmatrix}}}$

の形に書き表されるものと定義する[3][4][5]。このベクトル行列の乗法規則は、三次元ベクトルの点乗積 および交叉積 × を用いて
${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{pmatrix}}}$

と定義される。加法とスカラー倍は通常の通り成分ごとに定めるものとすると、ベクトル行列の全体は 上八次元の単位的分配多元環を成し、ツォルンのベクトル行列代数と呼ばれる。

ベクトル行列の「行列式」を

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{pmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }$

なる規則で定めれば、この「行列式」det はツォルンのベクトル行列代数上の二次形式として、合成律:
${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$

を満足する。

${\displaystyle x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )}$

と書けば、分解型八元数全体からベクトル行列代数への同型 φ
${\displaystyle x\mapsto \varphi (x):={\begin{pmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\end{pmatrix}}}$

で与えられる。この同型は、N(x) = det(φ(x)) が成り立つから、ノルムを保つ。

応用

(a) ディラック方程式（電子や陽子のような、スピン1/2の自由粒子の運動の方程式）は生の分解型八元数の算術で表すことができる[6]
(b) 超対称量子力学は octonionic extension を持つ[7]

参考文献

1. ^ Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras, page 158, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR2014924
2. ^ Max Zorn (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9(3/4): 395–402
3. ^ Nathan Jacobson (1962) Lie Algebras, page 142, Interscience Publishers.
4. ^ Richard D. Schafer (1966) An Introduction to Nonassociative Algebras, pp 52–6, Academic Press
5. ^ Lowell J. Page (1963) "Jordan Algebras", pages 144–186 in Studies in Modern Algebra edited by A.A. Albert, Mathematics Association of America : Zorn’s vector-matrix algebra on page 180
6. ^ M. Gogberashvili (2006) "Octonionic Electrodynamics", Journal of Physics A 39: 7099-7104. doi:10.1088/0305-4470/39/22/020
7. ^ V. Dzhunushaliev (2008) "Non-associativity, supersymmetry and hidden variables", Journal of Mathematical Physics 49: 042108 doi:10.1063/1.2907868; arXiv:0712.1647
• Harvey, F. Reese (1990). Spinors and Calibrations. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-329650-1
• Springer, T. A.; F. D. Veldkamp (2000). Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups. Springer-Verlag. ISBN 3-540-66337-1