外周三角形

ユークリッド幾何学において、外周三角形（がいしゅうさんかくけい、英:Circumcevian triangle）とは三角形と点に対する特別な三角形の一つである。

定義編集

元の三角形

△ ABC

点

P

△ ABC

の外接円と、

△ ABC

の頂点と

P

を結ぶ直線

P

の外周三角形

△ A'B'C'

$△ ABC$ と点 $P$ に対して、 $AP, BP, CP$ と $△ ABC$ の外接円の $A, B, C$ でない方の交点を $A', B', C'$ とする。 $△ A'B'C'$ を $P$ の外周三角形と言う^[1]。

$a,b,c$ を $△ ABC$ の辺の長さ、 $α : β : γ$ を $P$ の三線座標とすると、 $P$ の外周三角形 $△ A'B'C'$ の頂点の三線座標は以下の様に与えられる^[2]。

{\begin{array}{rccccc}A'=&-a\beta \gamma &:&(b\gamma +c\beta )\beta &:&(b\gamma +c\beta )\gamma \\B'=&(c\alpha +a\gamma )\alpha &:&-b\gamma \alpha &:&(c\alpha +a\gamma )\gamma \\C'=&(a\beta +b\alpha )\alpha &:&(a\beta +b\alpha )\beta &:&-c\alpha \beta \end{array}}

元の三角形の外接円に内接する三角形は、元の三角形の外周三角形のただ一つに合同である^[2]。
任意の点の垂足三角形と外周三角形は相似である^[2]。
外周三角形の各頂点から元の三角形の辺に対して下した垂線が一点で交わるような、(つまり外周三角形と元の三角形がOrthologic trianglesであるような)は点Pの軌跡はマッケイ三次曲線と呼ばれる三次曲線を成す^[6]。また、マッケイ三次曲線上の点の垂足三角形と外周三角形は相似の位置にあり、その相似の中心の軌跡はルモワーヌ三次曲線と呼ばれる^[2]。

^ Kimberling, C (1998). “Triangle Centers and Central Triangles”. Congress Numerantium 129: 201.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Weisstein, Eric W.. “"Circumcevian Triangle"”. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. MathWorld. 2021年12月24日閲覧。
^ Weisstein, Eric W.. “Circumcircle Mid-Arc Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月2日閲覧。
^ Weisstein, Eric W.. “Circum-Medial Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月2日閲覧。
^ Weisstein, Eric W.. “Circum-Orthic Triangle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月2日閲覧。
^ Bernard Gilbert. “K003 McCay Cubic”. Catalogue of Triangle Cubics. Bernard Gilbert. 2021年12月24日閲覧。