マッケイ三次曲線

ユークリッド幾何学において、マッケイ三次曲線 (まっけいさんじきょくせん、英:McCay cubic, M'Cay cubic ,Griffiths cubic)とは、三角形に関する三次曲線の一つである。グリフィス三次曲線とも呼ばれる。 Bernard Gilbertの「Catalogue of Triangle Cubics」ではK003として登録されている。

定義

  基準となる △ABC

  △ABCの九点円

  Pの垂足三角形

  Pの垂足円(垂足三角形の外接円)

  マッケイ三次曲線:垂足円と九点円が接するときのP の軌跡

マッケイ三次曲線はいくつかの軌跡として定義される。

• 垂足円と九点円が接するような点Pの軌跡
• 外周三角形DEFと元の三角形ABCについてAB⊥FP, BC⊥DP,CA⊥EPとなるような(orthologicであるような)点Pの軌跡
• 点PとPの等角共役点と外心が共線である点の軌跡
• 外心を通る直線と、その直線上の点の等角共役点の軌跡が成す外接円錐双曲線の交点(フォンテーネ点,Fontene points)の軌跡

などがある。

式

マッケイ三次曲線は重心座標 $x:y:z$ を用いて下の式で表される。

$\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2}))=0.$

三線座標$\alpha :\beta :\gamma$では以下のように表される。

$\alpha (\beta ^{2}-\gamma ^{2})\cos A+\beta (\gamma ^{2}-\alpha ^{2})\cos B+\gamma (\alpha ^{2}-\beta ^{2})\cos C=0$

三次曲線上の点

マッケイ三次曲線は以下の点を通る。

• 内心と傍心
• 外心
• 垂心
• 垂心の外心チェバ共役点X₁₀₇₅
• X₁₀₇₅の等角共役点X₃₃₆₂
• ジェルゴンヌ三角形の垂心X₆₅の、垂心チェバ共役点X₂₂₅のミモザ変換(内心の、点Xと垂心の三線座標の積で表される点でのチェバ共役点)X₁₇₄₅
• X₁₇₄₅の等角共役点X₁₃₈₅₅

漸近線

マッケイ三次曲線の3つの漸近線

ステロイド(stelloid)とは3つの漸近線の成す角が60°である三次曲線を指す。マッケイ三次曲線はステロイドで、漸近線の交点は重心である。マッケイ三次曲線の漸近線と漸近線が平行でまた、有限個の点で交わり、外接ステロイド(circum-stelloid,3つの頂点を通るステロイド) である三次曲線は、マッケイステロイド(McCay stelloid)と呼ばれる。漸近線の交点はステロイドのradial centerと呼ばれる。 有限個のradial centerが与えられたとき、マッケイステロイドはただ一つに決まる。

関連

• フォイエルバッハの定理
• 第三フォンテーネの定理