多項式の展開
数学において多項式の展開(たこうしきのてんかい、英: polynomial expansion)とは、複数の多項式の積を一つの多項式で表すことをいう。これは因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧がなくなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、級数に対するものに自然に拡張される。
概要
編集分配法則
- a(b + c) = ab + ac
を用いることで、多項式の積を一つの多項式で表すことが可能。まず、帰納法により、第二因子が n 個の項の和である場合の分配法則を得る。
- a(b1 + ⋯ + bn) = ab1 + ⋯ + abn
第一因子も複数の項の和である場合、すなわち
- (a1 + ⋯ + am)(b1 + ⋯ + bn)
については、次のように計算される。
- 第一因子を A とおくと、A(b1 + ⋯ + bn) となる
- 分配法則により、これは Ab1 + ⋯ + Abn に等しい
- この式の第 i 項は (a1 + ⋯ + am)bi であり、再び分配法則を用いると、これは a1bi + ⋯ + ambi に等しい
- よって、全体は (a1b1 + ⋯ + amb1) + ⋯ + (a1bn + ⋯ + ambn) に等しい
この結果を記号 ∑
を用いて書くならば
である。言葉で表現するならば、
第一因子の項と第二因子の項、全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である
ということである。第一因子が m 個の項の和、第二因子が n 個の項の和であれば、第一因子の項と第二因子の項の組み合わせは mn 通りであるから、展開した結果は mn 個の項の和になる。
3つ以上の多項式の積についても同様のことがいえる。すなわち、
それぞれの因子からひとつずつ項を選ぶ、その全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である
ことがしたがう。k 個の多項式の積であって、i 番目の多項式が ni 個の項の和であれば、展開した結果は n1 ⋯ nk 個の項の和になる。
具体例
編集(a + b + c)(x + y) を展開すると、ax + ay + bx + by + cx + cy となる。展開の様子は次の表のように表せる。
展開したのち、さらに簡単にできる場合もある。例えば (a + b)(a − b) を展開する場合の表は
であるが、ab と -ab が打ち消しあうため、a2 − b2 となる。通常はこのような計算も含めて「多項式の展開」と呼ぶ。数学教育においては、こういう場合の展開式、例えば次のような式を公式として教授することが多い。
- (a + b)(a − b) = a2 − b2
- (a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
右辺を左辺に変形することは因数分解であるから、これらは展開の公式であるとともに因数分解の公式ともみなせる。
冪級数への拡張
編集多項式は有限個の項の和であるが、無限個の項の和である(形式的)冪級数に対する積が定義され、多項式の展開の自然な拡張とみなせる。以下、簡単のために1変数の冪級数
についてのみ考える。ふたつの冪級数の積は
と定義される。冪級数をその収束域に対する関数とみなした場合、これは関数の積に対応する。
例
編集の右辺の平方を上記の法則で「展開」すると、
となるが、この右辺は (ex)2 すなわち e2x のテイラー展開に等しい。これらの冪級数は、x にいかなる複素数を代入しても収束するが、収束域が限られたものも存在する。例えば、
であるが、1 + x + x2 + x3 + ⋯ は |x| < 1 の範囲でのみ収束する。表現を変えるならば、複素関数 1 + x + x2 + x3 + ⋯ の解析接続は 1/(1 − x) であり、これは x = 1 のみを1位の極に持ち、その他の点で正則である。