可換環論において、可換環 B とその部分環 A について、B の元 bA 係数のモニック多項式の根であるとき、bA整である(integral over A)という。B のすべての元が A 上整であるとき、BA 上整である、または、BA整拡大(integral extension)であるという。 本記事において、環とは単位元をもつ可換環のこととする。

定義編集

B を環、A をその部分環とする。bBA整であるとは、

 

を満たす自然数 n ≥ 1 と A の元 a0, …, an−1 が存在することである。B の元がすべて A 上整であるとき、BA整である、または、BA整拡大であるという。

B の元で A 上整であるものすべてのなす集合は B の部分環となり、これを B における A整閉包という。B における A の整閉包が A 自身であるとき、AB において整閉であるという。

ABのとき、整、整拡大、整閉包はそれぞれ、代数的、代数拡大代数的閉包と呼ばれる。

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  • 整数Z 上整な有理数Q の元は整数しかない。言い換えると、ZZQ における整閉包である。
  • ガウス整数、すなわち   の形の複素数は、Z 上整である。 Z  における整閉包である。
  • Z  における整閉包は、  の形の元からなる。ただし、ab は整数であって、  は4の倍数である。この例と直前の例は二次の整数(quadratic integer)の例である。
  • ζ を1の冪根とすると、円分体 Q(ζ) における Z の整閉包は Z[ζ] である[1]
  • Z の複素数体 C における整閉包は代数的整数の環と呼ばれる。
  •   が体 k の代数的閉包であれば、多項式環    上整である。
  • 有限群 G が環 A に作用しているとする。このとき AG によって固定される元の集合 AG 上整である。ring of invariants を見よ。
  • 任意の環において1の冪根と冪零元Z 上整である。
  • R を環とし、uR を含む環における単位元とする。このとき[2]
  1. u−1R 上整であるのは、u−1R[u] であるとき、かつそのときに限る。
  2.  R 上整である。
 

整元の特徴づけ編集

B を環とし、A をその部分環とする。このとき B の元 b について次は同値。

  • bA 上整
  • 部分環 A[b] ⊂ BA-加群として有限生成
  • A[b] は有限生成 A-加群である部分環 CB に含まれる
  • 忠実な A[b]-加群 MA 上有限生成なものが存在する
  • 有限生成部分 A-加群 MB が存在し、bMM であり、MB における零化イデアルは0

関連項目編集

脚注編集

  1. ^ Milne & ANT, Theorem 6.4
  2. ^ Kaplansky, 1.2. Exercise 4.
  3. ^ Hartshorne 1977, Ch. II, Excercise 5.14

参考文献編集

  • 堀田, 良之『可換環と体』岩波書店、2006年。ISBN 4-00-005198-9