不等式の内容
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Ω を n -次元 ユークリッド空間 内の有界 な開領域 とし、H k k -階弱微分可能で弱微分が L 2 に属するような函数 u : Ω → R のソボレフ空間 とする。Ω は k -拡張性を満たす、すなわち、ある有界線型作用素 E : H k H k R n H k u に対して (Eu )|Ω = u が成立するものとする。
L を偶数次 2k の線型偏微分作用素で、次の発散形式で表されるものとする：
(
L
u
)
(
x
)
=
∑
0
≤
|
α
|
,
|
β
|
≤
k
(
−
1
)
|
α
|
D
α
(
A
α
β
(
x
)
D
β
u
(
x
)
)
.
{\displaystyle (Lu)(x)=\sum _{0\leq |\alpha |,|\beta |\leq k}(-1)^{|\alpha |}\mathrm {D} ^{\alpha }\left(A_{\alpha \beta }(x)\mathrm {D} ^{\beta }u(x)\right).}
さらに L は一様楕円型、すなわちある定数 θ > 0 が存在して次が成り立つとする。
∑
|
α
|
,
|
β
|
=
k
ξ
α
A
α
β
(
x
)
ξ
β
>
θ
|
ξ
|
2
k
for all
x
∈
Ω
,
ξ
∈
R
n
∖
{
0
}
.
{\displaystyle \sum _{|\alpha |,|\beta |=k}\xi ^{\alpha }A_{\alpha \beta }(x)\xi ^{\beta }>\theta |\xi |^{2k}{\mbox{ for all }}x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}.}
最後に、係数 Aαβ は |α | = |β | = k に対して、Ω の閉包 上で有界かつ連続 連続とし、次が成り立つとする。
A
α
β
∈
L
∞
(
Ω
)
for all
|
α
|
,
|
β
|
≤
k
.
{\displaystyle A_{\alpha \beta }\in L^{\infty }(\Omega ){\mbox{ for all }}|\alpha |,|\beta |\leq k.}
このとき、ゴルディングの不等式 が次のように成り立つ：定数 C > 0 と G ≥ 0 が存在して
B
[
u
,
u
]
+
G
‖
u
‖
L
2
(
Ω
)
2
≥
C
‖
u
‖
H
k
(
Ω
)
2
for all
u
∈
H
0
k
(
Ω
)
{\displaystyle B[u,u]+G\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}\geq C\|u\|_{H^{k}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{k}(\Omega )}
となる。ここに
B
[
v
,
u
]
=
∑
0
≤
|
α
|
,
|
β
|
≤
k
∫
Ω
A
α
β
(
x
)
D
α
u
(
x
)
D
β
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle B[v,u]=\sum _{0\leq |\alpha |,|\beta |\leq k}\int _{\Omega }A_{\alpha \beta }(x)\mathrm {D} ^{\alpha }u(x)\mathrm {D} ^{\beta }v(x)\,\mathrm {d} x}
は作用素 L に関連する双線型形式である。
応用：ラプラス作用素とポアソン問題
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簡単な例として、ラプラス作用素 Δ を考える。より具体的に、f ∈ L 2 (Ω) に対して、次のポアソン方程式 を解くことを考える。
{
−
Δ
u
(
x
)
=
f
(
x
)
,
x
∈
Ω
;
u
(
x
)
=
0
,
x
∈
∂
Ω
;
{\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u(x)=f(x),&x\in \Omega ;\\u(x)=0,&x\in \partial \Omega ;\end{cases}}}
ここに Ω は R n リプシッツ領域 である。この問題に対応する弱形式は、次を満たす u をソボレフ空間 H 0 1 (Ω) 内で見つけることである。
B
[
u
,
v
]
=
⟨
f
,
v
⟩
for all
v
∈
H
0
1
(
Ω
)
.
{\displaystyle B[u,v]=\langle f,v\rangle {\mbox{ for all }}v\in H_{0}^{1}(\Omega ).}
ここに
B
[
u
,
v
]
=
∫
Ω
∇
u
(
x
)
⋅
∇
v
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle B[u,v]=\int _{\Omega }\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x,}
⟨
f
,
v
⟩
=
∫
Ω
f
(
x
)
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f,v\rangle =\int _{\Omega }f(x)v(x)\,\mathrm {d} x}
である。ラックス＝ミルグラムの補題 によると、双線型形式 B が H 0 1 (Ω) 上のノルムに関して連続かつ楕円型であるなら、各 f ∈ L 2 (Ω) に対して唯一つの解 u が H 0 1 (Ω) 内に必ず存在することが分かる。ゴルディングの不等式の仮定は、ラプラス作用素に対して成立することは容易に分かるので、次を満たす定数 C と G ≥ 0 が存在する：
B
[
u
,
u
]
≥
C
‖
u
‖
H
1
(
Ω
)
2
−
G
‖
u
‖
L
2
(
Ω
)
2
for all
u
∈
H
0
1
(
Ω
)
.
{\displaystyle B[u,u]\geq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}-G\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{1}(\Omega ).}
ポアンカレ不等式 を適用することで、この右辺の二つの項は組み合わされ、新たな定数 K > 0 によって次のように書き換えることが出来る：
B
[
u
,
u
]
≥
K
‖
u
‖
H
1
(
Ω
)
2
for all
u
∈
H
0
1
(
Ω
)
.
{\displaystyle B[u,u]\geq K\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{1}(\Omega ).}
これはまさしく B が楕円型であることを意味する。B の連続性はさらに容易に確かめられる。すなわち、コーシー＝シュワルツの不等式 と、ソボレフノルムは勾配の L 2 ノルムによって統制される事実をシンプルに適用すればよい。
参考文献
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Renardy, Michael and Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations . Texts in Applied Mathematics 13 (Second edition ed.). New York: Springer-Verlag. p. 356. ISBN 0-387-00444-0 
![{\displaystyle B[u,u]+G\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}\geq C\|u\|_{H^{k}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{k}(\Omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ef40da4113d7224ee01849521d3be0d1e2dce7)
![{\displaystyle B[v,u]=\sum _{0\leq |\alpha |,|\beta |\leq k}\int _{\Omega }A_{\alpha \beta }(x)\mathrm {D} ^{\alpha }u(x)\mathrm {D} ^{\beta }v(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e28cc59fa2c3765c37d43687e308a8486e1f3b6)
![{\displaystyle B[u,v]=\langle f,v\rangle {\mbox{ for all }}v\in H_{0}^{1}(\Omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e03c781da6a68d1a2d7fd8378231ada1bac180b)
![{\displaystyle B[u,v]=\int _{\Omega }\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d305ee89730f1e302c67ca9624087f2439691a01)
![{\displaystyle B[u,u]\geq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}-G\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{1}(\Omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a12ae24f19a56ff630ea121f9c4f739127f6927)
![{\displaystyle B[u,u]\geq K\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{1}(\Omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f54344058c6e8bdcc13aded0902a20d9ab9cb4a)