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n 次の特殊ユニタリ群(とくしゅユニタリぐん、英語: special unitary groupSU(n) とは、行列式が1の nユニタリ行列の為すの事である。群の演算行列の積で与えられる。

特殊ユニタリ群 SU(n)ユニタリ群 U(n)部分群であり、さらに一般線型群 GL(n, C)の部分群である。

特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用ワインバーグ=サラム理論強い相互作用量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型大統一理論などに出てくる。

目次

定義編集

 

ここで U(n)ユニタリ群det行列式である。

性質編集

特殊ユニタリ群 SU(n) は、以下のような性質を満たす。

生成子編集

SU(n)生成子 T は、トレースが 0 のエルミート行列表現される。

 
 

基本表現編集

基本表現、或いは定義表現では、n正方行列で表現される。

 

ここで、 f構造定数で、全ての添え字に関して反対称であり、d は全ての添え字に関して対称である。

従って、

 
 

規格化条件として

 

をとる。

随伴表現編集

随伴表現では、n2−1 次正方行列で表現され、その成分は、

 

で与えられる。

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SU(2)編集

SU(2)の一般形は

 

となる。ここで、α, βC|α|2 + |β|2 = 1 を満たす。

SU(3)編集

  の生成子 T の基本表現は

 

ここで、 ゲルマン行列である。

 
 
 

交換関係は

 

となり、構造定数 f

 
 
 

となる。d

 
 
 

となる。

他の群との関係編集

素粒子物理学では、対称性の破れに関連して部分群が重要になる。

 
 
 
 
 
 
 
 

O(n): 直交群SO(n): 特殊直交群USp(2n): シンプレクティック群E6, E7, G2: 例外型リー群

また、スピン群と以下の同型がある

 
 
 

関連項目編集

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Special Unitary Group". MathWorld(英語).
  • special unitary group in nLab