矩形数(くけいすう、pronic numberoblong number)とは、連続する自然数の値のことである。長方形数長方数とも呼ばれる。矩形数は全て偶数であり、最小のものは 2 である(ただし 0 を矩形数に含める場合もある)。

数学的性質編集

  • n 番目の矩形数は n(n + 1) と表され、これは n 番目の三角数の2倍に等しい。
  • 矩形数を小さい順に列記すると
(0), 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, …オンライン整数列大辞典の数列 A2378
  • 矩形数の1の位は0,2,6のいずれかに限られる。

というよりも2,6,2,0,0を無限に繰り返す。

  • 2 から n 番目の偶数までの総和は、n 番目の矩形数に等しい。
例:2 = 1 × 2, 2 + 4 = 2 × 3, 2 + 4 + 6 = 3 × 4
2 6 12 20
      
   
    
    
    
     
     
     
     
 
この部分分数分解から、矩形数の逆数は自然数の逆数の階差数列を作ることが分かる(正負の符号は異なる)。また、矩形数の逆数を 1 個、 2 個、 4 個、 ・・2n≥ 0) 乗個、・・ずつ順に加えてゆくと初項、公比とも 1/2 の無限等比数列になることも導かれる。
 
 
 

その他矩形数に関すること編集

  • 矩形数はある数 n多重根号で表すときに出現する。
      ,  
6は5番目の矩形数30と6番目の矩形数42で表すことが可能である。これは   より x = n2n と表せるからである。

関連項目編集

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Pronic Number". MathWorld (英語).