順序指数体

数学における順序指数体（じゅんじょしすうたい、英: ordered exponential field）は、順序体であって（実数全体の成す順序体上の指数函数の概念を一般化する）適当な条件を満たす函数を備えたものを言う。

定義

順序体 K 上で定義された指数函数 (exponential) E とは、加法群 K から乗法群 K^× の上への狭義単調増大な群準同型を言い、順序体 K とその上の指数函数 E との対 (K, E) を順序指数体と呼ぶ。

例

• 順序指数体の標準的な例は、実数全体の成す順序体 ℝ に a^x (a > 1) の形に書ける任意の指数函数を併せたものである。そのような函数のひとつに、自然指数函数 E(x) ≔ e^x がある。順序体 ℝ と自然指数函数との対として与えられる順序指数体を ℝ_exp で表す。1990年代には ℝ_exp がモデル完備であることが示され、ウィルキーの定理と呼ばれる。この結果とパフ函数に関する Khovanskiĭ の定理を併せれば ℝ_exp が o-極小でもあることが示される。アルフレッド・タルスキ―が ℝ_exp の決定可能性の問題を提起したので、いまではそれをタルスキーの指数函数問題と呼ぶ。実数版のシャニュエル予想が真ならば ℝ_exp が決定可能であるということは知られている。
• 超現実数全体の成す順序体 𝐍𝐨 には ℝ 上の自然指数函数 exp の延長となる指数函数が定義できる。𝐍𝐨 はアルキメデス性を持たないから、これは非アルキメデス順序指数体の例を与えるものである。
• 対数指数超級数全体の成す順序体 𝕋^LE は、標準的な指数函数を持つような仕方で具体的に構成される。

形式指数体

形式指数体あるいは指数閉体とは、（本項で言う意味での）指数函数 E を定義可能な順序体を言う。任意の形式指数体 K に対し、K 上の指数函数 E を適当な自然数 n に対して 1 + 1/n < E(1) を満たすように選ぶことができる。

性質

• 任意の順序指数体 K は冪根閉 (root-closed) である。すなわち K の任意の正元が任意の正整数 n に対する n-乗根を持つ（別な言い方をすれば、K の正元全体の成す乗法群が可除群を成す）。このことは、任意の a > 0 に対して ${\textstyle E\left({\frac {1}{n}}E^{-1}(a)\right)^{n}=E(E^{-1}(a))=a}$ となることを見ればわかる。
  • これにより、任意の順序指数体はユークリッド体になることがわかる。
  • これにより、任意の順序指数体は順序ピタゴラス体であることがしたがう。
• 任意の実閉体が必ずしも形式指数体となるわけではない。例えば、実代数的数全体の成す体には指数函数を入れることができない。なぜならば、実数体の任意の形式指数部分体 K において、指数函数 E は適当な元 a ∈ K (a > 1) に対して E(x) = a^x の形をしていなければならない、にも拘らず ${\textstyle E({\sqrt {2}})=a^{\sqrt {2}}}$ が a > 1 のとき代数的でないことがゲルフォント–シュナイダーの定理から従う。
  • その帰結として、形式指数体全体の成すクラスは初等類でないことが言える（実数体と実代数的数体は初等同値な構造であった）。
• 形式指数体全体の成すクラスは擬初等類である。これは体 K が指数閉であるための必要十分条件が、全射 E₂: K → K⁺ が存在して E₂(x + y) = E₂(x)E₂(y) かつ E₂(1) = 2 となることであり、E₂ に関するこれらの性質は公理化可能であることによる。

関連項目

• 指数体

参考文献

• Alling, Norman L. (1962). “On Exponentially Closed Fields”. Proceedings of the American Mathematical Society 13 (5): 706–711. doi:10.2307/2034159. JSTOR 2034159. Zbl 0136.32201. 
• Kuhlmann, Salma (2000), Ordered Exponential Fields, Fields Institute Monographs, 12, American Mathematical Society, doi:10.1090/fim/012, ISBN 0-8218-0943-1, MR1760173