ドロー＝ファルニー線定理

ドロー＝ファルニー線定理（英: Droz-Farny line theorem）は平面幾何学において、垂心を通り直交する直線に関する定理である。

$A_{0},B_{0},C_{0}$を通るドロー・ファルニー線

三角形$ABC$の垂心（頂垂線の共点）を$H$、$H$で直交する直線を$L_{1},L_{2}$とする。次に、$BC,CA,AB$と$L_{1}$の交点をそれぞれ$A_{1},B_{1},C_{1}$、$BC,CA,AB$と$L_{2}$の交点をそれぞれ$A_{2},B_{2},C_{2}$とする。このとき、線分$A_{1}A_{2},B_{1}B_{2},C_{1}C_{2}$の中点は共線である。

ドロー・ファルニー線定理は、1899年にアーノルド・ドロー＝ファルニーが提言した定理であるが、彼自身の証明は不完全であった。

ゴールマハティヒの一般化

1930年、ルネ・ゴールマハティヒはドロー・ファルニー線定理の一般化を発表した。

$\triangle ABC$について、その頂点でない点$P$を通る直線の一つを$L$とする。次に$L$で$PA,PB,PC$を鏡映した直線と、それぞれ$BC,CA,AB$の交点を$A_{1},B_{1},C_{1}$とする。このとき$A_{1},B_{1},C_{1}$は共線である。

$P$が垂心であるとき、元の定理を得る。

ダオによる一般化

ダオによる1番目の一般化

ダオ・タイン・オアイ（Dao Thanh Oai）はさらなる一般化を発見している。

１: △ABCと任意の点Pについて、3つの平行な線分AA',BB',CC'を、その中点とPが共線になるようにとる。このとき、それぞれBC,CA,ABとPA',PB',PC'の交点は共線である。

ダオによる2番目の一般化

詳細は「ダオの定理 (円錐曲線)」を参照

2: 任意の円錐曲線Sと点Pについて、Pを通る直線d_a,d_b,d_cがそれぞれSとA,A'、B,B'、C,C'で交わるとする。次にPの極線かS上に点Dを作る。このときDA' ∩BC,DB' ∩ AC,DC' ∩ ABは共線である。ただし積集合記号は二直線の交点を表す。

この定理はザスラフスキーの定理（Zaslavsky's theorem）、ニクソンの定理、ブリスの定理（Bliss's theorem）、コリングの定理（Colling's theorem）、カルノーによるシムソンの定理の一般化などに演繹することができる。