混線内接円

混線内接円（こんせんないせつえん、英: mixtilinear incircle）とは、ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に内接する円のことである。三角形の頂点 $A$ を含む二辺に接する混線内接円は $A$ 混線内接円と呼ぶ。すべての三角形は、各頂点に一意に対応する三つの混線内接円を持つ。

三角形 $ABC$ の $A$ 混線内接円

一意に存在することの証明

三角形 $ABC$ の $A$ 傍接円は一意に存在する。$A$ を中心とし ${\sqrt {AB\cdot AC}}$ を半径とする反転と、角 $A$ の二等分線に関する鏡映を合成することで定義される変換を $\Phi$ とする。反転と鏡映は全単射であり接点が不変に保たれるので、$\Phi$ も同様である。このとき、$\Phi$ による $A$ 傍接円の像は、辺 $AB$ と辺 $AC$ に内接し、かつ三角形 $ABC$ の外接円に接するので、すなわち $A$ 混線内接円である。したがって、$A$ 混線内接円は一意に存在し、同様の議論により $B$ と $C$ に対しても同じことが示される。

作図

六角形 $XCABYT_{A}$ とその三組の対辺の交点 $D,I,E$

$A$ 混線内接円は次の手順を踏むことにより作図できる。

1. 角の二等分線を交わらせることで内心 $I$ を描く。
2. $I$ を通り直線 $AI$ に垂直な直線を描き、直線 $AB$ と $AC$ との交点をそれぞれ点 $D$ と $E$ とする。これらは混線内接円が接する点になる。
3. 点 $D$ と $E$ からそれぞれ $AB$ と $AC$ の垂線を描き、その交点を $O_{A}$ とする。$O_{A}$ を中心とし $O_{A}E$ を半径とする円が混線内接円である。

この作図は次の事実により保証されている。

補題

この内心は、混線内接円が二辺と接する点の中点である。

証明

$\Gamma$ を三角形 $ABC$ の外接円とし、$T_{A}$ を $A$ 混線内接円 $\Omega _{A}$ と $\Gamma$ の接点とする。$T_{A}$ と異なる点 $X$ と $Y$ を、それぞれ $T_{A}D$ と $\Gamma$ の、$T_{A}E$ と $\Gamma$ の交点とする。$T_{A}$ を中心として $\Omega _{A}$ と $\Gamma$ のあいだに相似変換を施すことにより、$X$ と $Y$ がそれぞれ $\Gamma$ の弧 $AB$ と $AC$ の中点であることがわかる。円周角の定理により、$X,I,C$ と $Y,I,B$ がそれぞれ共線な点の三つ組であることがわかる。パスカルの定理を $\Gamma$ に接する六角形 $XCABYT_{A}$ に適用することにより、$D,I,E$ が共線であることがわかる。角 $\angle {DAI}$ と $\angle {IAE}$ が等しいことから、$I$ が線分 $DE$ の中点であることが従う。

他の性質

半径

次の公式は内接円の半径 $r$ と三角形 $ABC$ の $A$ 混線内接円の半径 $\rho _{A}$ を結びつける。

$$r=\rho _{A}\cos ^{2}{\frac {A}{2}}$$

このことから即座に次の式が従う：

$$AD=AE={\frac {\rho _{A}}{\tan {\frac {A}{2}}}}={\frac {2r}{\sin {A}}}={\frac {bc}{s}}$$

ただし $s$ は半周長であり、またこの式は点 $A,B,C$ と円 $O$ に対してケイシーの定理を適用することにより得ることもできる。

外接円の点との関係

• 点 $A$ を含む弧 $BC$ の中点は直線 $T_{A}I$ 上にある。
• 四角形 $T_{A}XAY$ は調和四角形である。すなわち、$T_{A}A$ は三角形 $XT_{A}Y$ の類似中線である。

外接円との接点に関連する円

• $T_{A}BDI$ と $T_{A}CEI$ は共円四辺形である。

螺旋相似

• $T_{A}$ は $B$ と $I$ をそれぞれ $I$ と $C$ に写す螺旋相似の中心である。

三つの混線内接円のあいだに成り立つ関係

頂点と接点を結ぶ直線

各頂点と、それに対応する混線内接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の外相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersでは X(56) として紹介されている。三線座標では ${\frac {a}{c+a-b}}:{\frac {b}{c+a-b}}:{\frac {c}{a+b-c}}$ であり、重心座標では ${\frac {a^{2}}{c+a-b}}:{\frac {b^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c^{2}}{a+b-c}}$ である。

この点は、三角形の垂心とフォイエルバッハ点、ジェルゴンヌ点とシフラー点を通る直線上にある。また、ナーゲル点の等角共役である。

根心

三つの混線内接円の根心 $J$ は、$OI$ を

$$OJ:JI=2R:-r$$

に内分する。ここで $I$ は内心、$r$ は内半径、$O$ は外心、$R$ は外半径である。

$J$は、九点円の中心と、内心と垂心,ジェルゴンヌ点とナーゲル点を結ぶ直線の交点X(388)と共線である。またミッテンプンクトの等角共役X(57)と内心の中点である。Encyclopedia of Triangle CentersではX(999)に該当し三線座標は以下の式で与えられる。

$a(a^{2}+4bc-b^{2}-c^{2}):b(b^{2}+4ca-c^{2}-a^{2}):c(c^{2}+4ab-a^{2}-b^{2})$