数論におけるヘーグナー数 (: Heegner number)(コンウェイとガイによる命名)とは、虚二次体 類数 となる平方因子を持たない正の整数 のことである。言い換えれば、その整数環一意な分解を持つ[1]

このような数は類数問題の特別なケースから定まるとともに、数論におけるいくつかの注目すべき結果の根底にある。

(ベイカー・)スターク・ヘーグナーの定理によれば、ヘーグナー数は正確に9つ存在する。

オンライン整数列大辞典の数列 A003173

この結果はガウスによって予想され、1952年にクルト・ヘーグナー英語版によって軽微な誤りを含む証明がなされた。 アラン・ベイカーハロルド・スターク英語版は1966年に結果を独立して証明し、スタークはさらにヘーグナーの証明の誤りは軽微であることを示した[2]

オイラーの素数生成多項式

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n = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーの素数生成多項式英語版

 

は、ヘーグナー数 163 = 4・41 − 1 と対応している。

オイラーの式において   が 1, ..., 40 の値をとるとすると、   が 1, ..., 39 の値をとる以下の式と等価である。

 

ラビノヴィッチ英語版 [3]

 

について、判別式   が負のヘーグナー数の場合、またそのときに限り、  に対して素数を与えることを証明した。

(なお   を代入すると   となるため、 n の最大値となる。)

  を満たす p が存在しないため、機能するヘーグナー数は   であり、これらはオイラーの形の素数生成式における   にそれぞれ対応する。特にこれらの p は、リヨネ英語版によってオイラーの幸運数英語版と呼ばれている[4]

ほとんど整数とラマヌジャンの定数

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ラマヌジャンの定数とは超越数[5]   のことであり、整数に非常に近い英語版という点でほとんど整数である。

  [6]  

この数は、1859年に数学者シャルル・エルミートによって発見された[7]サイエンティフィック・アメリカン誌の1975年エイプリルフールの記事[8] 「数学的ゲーム」のコラムニストであるマーティン・ガードナーは、「その数は実際に整数であり、インドの天才数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予測していた」という話をでっち上げたことから、この名前がついた。

この偶然性は、 虚数乗法j-不変量q-展開によって説明できる。

詳細

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簡単に言えば、ヘーグナー数 d に対して   は整数であり、 q -展開によって示される。

もし   が二次無理数とすると、j-不変量は次数  代数的整数であり、 類数  が満たす最小(モニック整数)多項式は、「ヒルベルト類多項式 (Hilbert class polynomial)」と呼ばれる。 したがって、虚数の2次拡大体   の類数が 1 であれば(つまり d はヘーグナー数)、 j-不変量は整数となる。

フーリエ級数展開を  ローラン級数として表した jq-展開は、最初の3項は以下のとおりである:

 

ローラン級数の係数   は漸近的に   のように増大し、また低次の係数の増大が   よりも遅いため、   において、 j は最初の2つの項で非常によく近似される。  とすると   つまり   となる。ここで   とすると、以下の式が得られる。

 

これはすなわち

 

であり、誤差の線形項は

 

となるため、  が上記の範囲でほぼ整数である理由となる。

円周率の式

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1987年、チュドノフスキー兄弟英語版は以下の式を発見した。

 

これは、   という事実を用いている。同様の式については、ラマヌジャン・佐藤級数英語版を参照せよ。

その他のヘーグナー数

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大きい方から4つのヘーグナー数について、以下の近似が得られる[9]

 

あるいは、 [10]

 

ここで2乗の理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものである。  のヘーグナー数についてはほとんど整数となる近似を得られず、   さえ注目に値しない[11]。整数の j-不変量は細かく因数分解可能であるが、これは   ということに従う。素因数は以下のとおりである。

 

これらの超越数は、(単に次数 1 の代数的数である)整数によるよい近似のほかに、次数 3 の代数的数によってもよく近似できる[12]

 

3次式のは、24番目の根を含むモジュラー関数であるデデキントのイータ関数 η(τ)の商によって正確に与えられ、これが近似における数値 24 の理由となる。また、次数4の代数的数によっても近似できる[13]

 

括弧内の式を   とおくと(例:   )、  はそれぞれ四次方程式を満たす。

 

整数   の再出現と、以下の事実に注意せよ。

 

これは、適切な分数累乗を与えれば、正確に j-不変量である。

同様に、次数 6 の代数的数では以下のようになる。

 

ここで、x はそれぞれ六次式の適切な根によって与えられる。

 

ここで j-不変量が再び現れる。これらの六次方程式は代数的であるだけでなく、拡大体  [14] の上で2つの三次式に因数分解される(最初の因数はさらに2つの二次式に分解できる)ので、冪根によって解ける。これらの代数的近似は、デデキント・イータ商で正確に表現できる。例として、   とすると、

 

ここで、イータ商は上記の代数的数である。

類数 2 の数値

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類数   を持つ虚二次体   を与える3つの数字   は、ヘーグナー数とは見なされないが、 ほとんど整数という点で同様の特性を有する。たとえば、

 

そして

 

連続素数

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p を奇素数として、  に対して   を計算すると(  なので、k の範囲はこれで十分である)、 p がヘーグナー数である場合、またそのときに限り、連続する素数のに続いて連続する合成数が得られる[15]

詳細については、リチャード・モリン(Richard Mollin)の "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" を参照せよ[16]

脚注

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  1. ^ Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. Springer. p. 224. ISBN 0-387-97993-X. https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw/page/224 
  2. ^ Stark, H. M. (1969), “On the gap in the theorem of Heegner”, Journal of Number Theory 1: 16–27, doi:10.1016/0022-314X(69)90023-7, http://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/33039/1/0000425.pdf 
  3. ^ Rabinovitch, Georg英語版 "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern."
  4. ^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables.
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Transcendental Number". mathworld.wolfram.com (英語).
  6. ^ Ramanujan Constant – from Wolfram MathWorld
  7. ^ Barrow, John D (2002). The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. ISBN 0-224-06135-6 
  8. ^ Gardner, Martin (April 1975). “Mathematical Games”. Scientific American (Scientific American, Inc) 232 (4): 127. 
  9. ^ これらは計算機で   計算することで確かめられ、誤差の線形項は   で確認できる。
  10. ^ https://groups.google.com/g/sci.math.research/c/PSQTfJqGCJM?hl=en
  11. ^ 実数乱数の絶対偏差(たとえば [0,1] 区間の一様乱数)は [0, 0.5] の一様乱数となり、絶対平均偏差英語版中央絶対偏差英語版は0.25となるため、偏差0.22はほぼ整数とみなすには大きすぎる。
  12. ^ Pi Formulas”. 2020年6月閲覧。
  13. ^ Extending Ramanujan's Dedekind Eta Quotients”. 2020年6月閲覧。
  14. ^ 訳註:原文では  
  15. ^ http://www.mathpages.com/home/kmath263.htm
  16. ^ Mollin, R. A. (1996). “Quadratic polynomials producing consecutive, distinct primes and class groups of complex quadratic fields”. Acta Arithmetica 74: 17–30. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa74/aa7412.pdf. 

外部リンク

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