第2種ベータ分布

第2種ベータ分布（だい2しゅベータぶんぷ、英: beta prime distribution, beta distribution of the second kind）は、連続確率分布であり、確率変数 X が第1種ベータ分布に従うとき、X/1 − X の従う分布のこと。その確率密度関数は以下で定義される。

第2種ベータ分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	$\alpha >0$ 形状母数 (実数) $\beta >0$ 形状母数 (実数)
台	$x\in (0,\infty )\!$
確率密度関数	$f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}\!$
累積分布関数	$I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}$ $I_{x}(\alpha ,\beta )$ は正則化された不完全ベータ関数
期待値	${\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1$
最頻値	${\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ if }}\alpha \geq 1{\text{, 0 otherwise}}\!$
分散	${\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{ if }}\beta >2$
歪度	${\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}{\text{ if }}\beta >3$
モーメント母関数	${\frac {e^{-t}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\beta )}}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha +\beta \\\beta ,0\end{matrix}}\;\right|\,-t\right)$

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {x^{\alpha -1}}{(1+x)^{\alpha +\beta }}}$

一般化第2種ベータ分布

p > 0 が実数の形状パラメータ、q > 0 が実数のスケールパラメータの時、下記の確率密度関数を一般化第2種ベータ分布（英: generalized beta prime distribution）という。

$f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p\left({\frac {x}{q}}\right)^{\alpha p-1}\left(1+\left({\frac {x}{q}}\right)^{p}\right)^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}}$

参考文献

• 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布
• ベータ分布
• ベータ関数
• 不完全ベータ関数