数学において,ポアンカレ双対性定理は,多様体ホモロジー群コホモロジー群の構造に関する基本的な結果である.名前はアンリ・ポアンカレにちなむ.定理の主張は以下のようである.Mn 次元の向き付けられた閉多様体コンパクトかつ境界を持たない)とすると,Mk 次コホモロジー群はすべての整数 k に対して (nk) 次ホモロジー群と同型である:

ポアンカレ双対性は,係数環に関して向きを取る限り,任意の係数環に対して成り立つ.特に,すべての多様体は 2 を法として一意的な向き付けを持つので,ポアンカレ双対性は向きの仮定なしに 2 を法として成り立つ.

歴史

編集

ポアンカレ双対の形式は、1893年にアンリ・ポアンカレによって提唱された。(ただし、証明は無かった。)そのポアンカレ双対はベッチ数の観点で与えられた。つまり、閉(コンパクトかつ境界を持たない)向き付け可能なn次元多様体のk次と(n-k)次のベッチ数は等しいということである。その当時、コホモロジーの概念が明快化されるまで約40年あった。1895年に出版した論文、Analysis Situsで、ポアンカレは、自身が生み出した位相的交叉理論 (topological intersection theory)によって、定理を証明しようと試みた。ポウル・ヘーガードの批判によって、ポアンカレは自身の証明に致命的な誤りがあることに気がついた。Analysis Situs の最初の2編に、双対三角形分割による新たな証明を与えた。

ポアンカレ双対は1930年代のコホモロジーの誕生まで、現代の形をとらなかった。1930年代に、エドアード・チェックハスラー・ホイットニーが導入したキャップ積カップ積により、ポアンカレ双対は現代の形に定式化された。

関連項目

編集

参考文献

編集

関連文献

編集
  • Blanchfield, R. C. (1957), “Intersection theory of manifolds with operators with applications to knot theory”, Annals of Mathematics 65 (2): 340–356, doi:10.2307/1969966, JSTOR 1969966, https://jstor.org/stable/1969966 
  • Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9, MR1288523 

外部リンク

編集