マッカイグラフ

マッカイグラフ（英: McKay graph）とは、有限群 G と有限次元複素線型表現 V から定まる箙であり、G の表現環の構造に関連する情報を表している。箙の各頂点は G の既約指標 χ₁, …, χ_k に対応し、d 次元表現 V の指標 χ とのテンソル積 χ ⊗ χ_i が

$\chi \otimes \chi _{i}=\sum _{j}n_{ij}\,\chi _{j}$

と分解されるとき、頂点 χ_i から χ_i へ n_ij 本の矢を描く。 一般線型群 GL(2, C) の有限部分群 H に対して、 H のマッカイグラフとは H の自然表現のマッカイグラフを指す。

表現 V のカルタン行列 C は C = d I − A と定義される。ここで I は k 次単位行列であり、A は隣接行列 (n_ij) である。g が G の元ならベクトル ((χ_i(g)) はカルタン行列 C の固有値 d − χ(g) に対応する固有ベクトルである。

ジョン・マッカイ（John McKay）に由来するマッカイ対応（McKay correspondence）とは、特殊線型群 SL(2, C) の有限部分群のマッカイグラフと拡張ディンキン図形との間に一対一の対応があることを述べたものである。この関係は、単純リー代数の ADE分類に現れる。

定義

Gを有限群とし、VをGの表現とする。$\chi$ をその指標とする。$\{\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}\}$をGの既約表現とする。

$\chi \otimes \chi _{i}=\sum _{j}n_{ij}\,\chi _{j},$

であるとき、Gのマッカイグラフ$\Gamma _{G}$を次のように定義する:

• Gの各既約表現は$\Gamma _{G}$の頂点に対応する。
• n_ij > 0であるとき、$\chi _{i}$から$\chi _{j}$へ有向辺を張る。そして、その辺の重みはn_ijとする: $\chi _{i}{\xrightarrow {n_{ij}}}\chi _{j}$.
• もし n_ij = n_jiである場合$\chi _{i}$ と $\chi _{j}$に、矢印の代わりに辺を張る。加えて、もしn_ij = 1であれば、 対応する辺に重みは書かない。

n_ijは内積を考えることにより計算できる。以下の式が成り立つ:

$n_{ij}=\langle \chi \otimes \chi _{i},\chi _{j}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi (g)\chi _{i}(g){\overline {\chi _{j}(g)}},$

ここで、$\langle \cdot ,\cdot \rangle$は指標たちの内積 である。

GL(2, C)の有限部分群のマッカイグラフは、そのカノニカルな表現のマッカイグラフとして定義される。

SL(2, C)の有限部分群については、カノニカルな表現は自己双対であり、従ってn_ij = n_jiが任意のi,jについて成り立つ。故に、SL(2, C)の有限部分群のマッカイグラフは無向グラフとなる。

実は、マッカイ対応により、SL(2, C)の有限部分群と拡張コクセター・ディンキン図形の間にA-D-E型の一対一対応関係がある。

Vのカルタン行列Cを次のように定義する:

$C=(d\delta _{ij}-n_{ij})_{ij},$

ここで$\delta _{ij}$はクロネッカーのデルタである。

いくつかの結果

• 有限群 G の表現 V が忠実であるのは、V のマッカイグラフは連結であるとき、かつそのときに限る。
• SL(2, C)の有限部分群のマッカイグラフは自己ループをもたない。すなわち、n_ii = 0が全てのiについて成り立つ。
• SL(2, C)の有限部分群のマッカイグラフの有向辺の重みは常に1かそれより小さい。

例

• G = A × Bとし、AとBのカノニカルな既約表現c_Aとc_Bがあるとする。$\chi _{i}$, i = 1, ..., kがAの既約表現で、$\psi _{j}$, j = 1, ..., ℓがBの既約表現であるとしたとき、

$\chi _{i}\times \psi _{j}\quad 1\leq i\leq k,\,\,1\leq j\leq \ell$

は$A\times B$の既約表現で、$\chi _{i}\times \psi _{j}(a,b)=\chi _{i}(a)\psi _{j}(b),(a,b)\in A\times B$である。この場合、以下が成り立つ。

$\langle (c_{A}\times c_{B})\otimes (\chi _{i}\times \psi _{\ell }),\chi _{n}\times \psi _{p}\rangle =\langle c_{A}\otimes \chi _{k},\chi _{n}\rangle \cdot \langle c_{B}\otimes \psi _{\ell },\psi _{p}\rangle .$

故に、Gのマッカイグラフの$\chi _{i}\times \psi _{j}$と $\chi _{k}\times \psi _{\ell }$に辺があるのは、 Aのマッカイグラフの$\chi _{i}$と$\chi _{k}$に辺があり、かつBのマッカイグラフの$\psi _{j}$と$\psi _{\ell }$の間に辺があるときに限る。このとき、Gのマッカイグラフの辺の重みはAとBのマッカイグラフの対応する辺の重みの積となる。

• フェリックス・クラインは、SL(2, C)の有限部分群が二項正多面体群であることを示した。マッカイ対応は、この二項多面体群のマッカイグラフと拡張ディンキン図形の間に一対一の対応があることを述べている。例えば、${\overline {T}}$二項四面体群としよう。SL(2, C)の各部分群SU(2, C)の各部分群と共役である。SU(2, C)の行列を考えよう:

$S=\left({\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}}\right),V=\left({\begin{array}{cc}0&i\\i&0\end{array}}\right),U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{array}{cc}\varepsilon &\varepsilon ^{3}\\\varepsilon &\varepsilon ^{7}\end{array}}\right),$

ここでεは1の8乗根である。すると、${\overline {T}}$ はS, U, Vにより生成される。言い換えると、次が成り立つ:

${\overline {T}}=\{U^{k},SU^{k},VU^{k},SVU^{k}\mid k=0,\ldots ,5\}.$

${\overline {T}}$の共役類は次の通り:

$C_{1}=\{U^{0}=I\},$

$C_{2}=\{U^{3}=-I\},$

$C_{3}=\{\pm S,\pm V,\pm SV\},$

$C_{4}=\{U^{2},SU^{2},VU^{2},SVU^{2}\},$

$C_{5}=\{-U,SU,VU,SVU\},$

$C_{6}=\{-U^{2},-SU^{2},-VU^{2},-SVU^{2}\},$

$C_{7}=\{U,-SU,-VU,-SVU\}.$

${\overline {T}}$の指標表は

	$C_{1}$	$C_{2}$	$C_{3}$	$C_{4}$	$C_{5}$	$C_{6}$	$C_{7}$
$\chi _{1}$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi _{2}$	$1$	$1$	$1$	$\omega$	$\omega ^{2}$	$\omega$	$\omega ^{2}$
$\chi _{3}$	$1$	$1$	$1$	$\omega ^{2}$	$\omega$	$\omega ^{2}$	$\omega$
$\chi _{4}$	$3$	$3$	$-1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$c$	$2$	$-2$	$0$	$-1$	$-1$	$1$	$1$
$\chi _{5}$	$2$	$-2$	$0$	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	$\omega$	$\omega ^{2}$
$\chi _{6}$	$2$	$-2$	$0$	$-\omega ^{2}$	$-\omega$	$\omega ^{2}$	$\omega$

ここで $\omega =e^{2\pi i/3}$である。カノニカルな表現は cによって表される。内積を考えることで、${\overline {T}}$のマッカイグラフは${\tilde {E}}_{6}$の拡張コクセター・ディンキン図形であることが分かる。

関連事項

• ADE 関係
• 二項四面体群

参考文献

• Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer, ISBN 978-0-387-90053-7, MR323842, Zbl 0254.17004 
• James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X. MR1864147. Zbl 0981.20004 
• Klein, Felix (1884), “Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade”, Teubner (Leibniz), Zbl 16.0061.01  EuDML 203220
• McKay, John (1980), “Graphs, singularities, and finite groups”, Proc. Symp. Pure Math. (Amer. Math. Soc.) 37: 183-186, doi:10.1090/pspum/037/604577, MR604577, Zbl 0451.05026, https://books.google.com/books?id=_9sDCAAAQBAJ&pg=PA183 
• Ford, David; McKay, John (1981), “Representations and Coxeter Graphs”, The Geometric Vein: The Coxeter Festschrift, Berlin: Springer-Verlag, pp. 549-554, doi:10.1007/978-1-4612-5648-9_36, MR661802, Zbl 0499.20004, https://books.google.com/books?id=XpDbBwAAQBAJ&pg=PA548 
• Riemenschneider, Oswald (2007), “McKay correspondence for quotient surface singularities”, Singularities in Geometry and Topology, Proceedings of the Trieste Singularity Summer School and Workshop, World Scientific, pp. 483–519, doi:10.1142/9789812706812_0015, MR2311497, Zbl 1124.14044 
• Steinberg, Robert (1985), “Finite subgroups of SU₂, Dynkin diagrams and affine Coxeter elements”, Pacific Journal of Mathematics 118: 587–598, doi:10.2140/pjm.1985.118.587, MR789195, Zbl 0567.20026 

外部リンク

• nLab: McKay correspondence
• nLab: McKay quiver