三次曲線

数学において、三次曲線(さんじきょくせん、英:cubic plane curve)とは以下のような三次方程式によって定義される代数曲線である。

三次曲線の種類

$F(x,y,z)=0$

ここで$(x:y:z)$は射影平面上の斉次座標、またはアフィン空間の非斉次座標でz = 1とした座標で、Fは三次の斉次多項式、すなわち以下のような0でない三次単項式の線形結合とする。

$x^{3},y^{3},z^{3},x^{2}y,x^{2}z,y^{2}x,y^{2}z,z^{2}x,z^{2}y,xyz$

これら10個の項から成ることより、三次曲線は任意の可換体K 上で9次元の射影空間を成す。また三次曲線Cを満たす1点Pは1つの線形条件を課す。したがって9つの点を通る三次曲線はただ一つに決定される。 5つの点で決定する円錐曲線と比較してみると、2つの三次曲線が9つの点を通るならば、それらは束を成し、さらなる性質を持つこととなる(英語版:Cayley–Bacharach theorem)。

特異的な三次曲線 y² = x² ⋅ (x + 1). 媒介変数表示 t ↦ (t² – 1, t ⋅ (t² – 1)).

三次曲線には特異点を持つものもあり、射影直線におけるパラメトリック方程式となる。一方、 特異点を持たない三次曲線は複素数のような代数的閉体上に9つの変曲点を持つ。これは、三次曲線を再定義するヘッセ行列の同次座標をCと交差させることにより示すことができる(ベズーの定理)。しかし、これらの点のうちは実射影平面上にあるのは3点だけであり、他の点は実射影平面上で曲線を描いても見ることはできない。特異点を持たない三次曲線の9つの変曲点は、そのうちの2つを通るすべての直線がちょうど3つの変曲点を含むという性質を持っている。

実射影平面上にある変曲点はニュートンによって研究され、非特異な三次曲線の実点が1つか2つの「オーバル」を通ることが発見された。 これらのオーバルのうちの1つは、すべて射影直線を横切るので、ユークリッド平面に描いたときには見ることができず、3つの実変曲点を含む、1本または3本の無限の分岐として現れる。もう1つのオーバルは、存在するとしても、変曲点を含まず、オーバルか2つの無限の分岐のように見える。 円錐曲線の断面の様に直線はオーバルを最大2点で切断する。

非特異な三次曲線はK上の楕円曲線でもある。楕円曲線は普通、ワイエルシュトラスの楕円関数を変形したもので研究されており、三次関数の平方根で作られた有理関数上で定義されている。これはワイエルシュトラス標準形の無限遠点としてはたらくK-有理点に依存する。Kが有理数体のとき多くの三次曲線はそのような点を持たない。

尖点や二重点など、特異的な三次曲線の特異点は限られている。 そのような3次曲線は、2次曲線と直線、または3つの直線に退化する。したがって2次曲線と直線の場合は、2つのニ重点または 二重尖点(en)、3つの直線の場合はまたは3つのニ重点か1つの三重点(共点)を持つ。

三角形の三次曲線

△ABCの辺について $a=|BC|,$ $b=|CA|,$ $c=|AB|$ とする。△ABCの有名な三次曲線は様々な三角形の中心を通る。以下は斉次座標である三線座標と重心座標を用いる。

三線座標から重心座標への変換は以下の様に行われれる。

$x\to bcx,\quad y\to cay,\quad z\to abz;$

重心座標から三線座標への変換は以下の様に行われれる。

$x\to ax,\quad y\to by,\quad z\to cz.$

三次曲線の多くは以下の形式で表される。

$f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.$

この式は下記のような上の式を略した表記を用いることもある。

$\sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0$.

またXの 等角共役点(en)をX*, とする。このとき三線座標において $X=x:y:z$ ならば $X^{*}={\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}$が成り立つ。

ノイベルグ三次曲線

詳しくは「ノイベルグ三次曲線」を参照

△ABCのノイベルグ三次曲線 Xを辺BC, CA, ABで鏡映した点をX_A, X_B, X_CとしAX_A, BX_B, CX_Cが一点で交わるようなXの軌跡である。

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

ノイベルグ三次曲線はX*が直線EX上(Eはオイラー無限遠点X(30),オイラー線方向の無限遠点)にあるような点Xの軌跡、つまりXX*がオイラー線と平行になるような点の軌跡である。Xを辺BC, CA, ABで鏡映した点をX_A, X_B, X_Cとし、△X_AX_BX_Cと△ABCが配景的(en)なXの軌跡とも定義される。

ノイベルグ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、フェルマー点、等力点、オイラー無限遠点などを通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle PlaneではK001と登録されている。

トムソン三次曲線

詳しくは「トムソン三次曲線」を参照

トムソン三次曲線(黒い線)トムソン三次曲線上のX ,X*,X(2)(重心)は共線である。

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

トムソン三次曲線はX*が直線GX(Gは重心)上にあるような点Xの軌跡である。

トムソン三次曲線は頂点、内心と傍心、重心、外心、垂心、類似重心、辺の中点などを通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle PlaneではK002 として登録されている。

ダルブー三次曲線

ダルブー三次曲線、 XのBC, CA, ABに対する垂足三角形が元の三角形と配景的であるようなXの軌跡

三線座標:$\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

ダルブー三次曲線はX*が直線LX上(Lはド・ロンシャン点)にあるような点Xの軌跡である。ダルブー三次曲線上のXの垂足三角形はチェバ三角形で、チェバ三角形の元の点はルーカス三次曲線を成す。また、X の垂足三角形はXの反チェバ三角形と配景的で、その配景の中心はトムソン三次曲線を成す。

ダルブー三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ドロンシャン点、頂点の外接円に対する対蹠点などを通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K004 として登録されている。

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線はX*が直線NX 上(N = X(5),九点円の中心)にある点Xの軌跡である。

ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線は頂点、内心と傍心、外心、垂心、ナポレオン点などを通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K005 として登録されている。

ルーカス三次曲線

ルーカス三次曲線 、 Xののチェバ三角形 がダルブー三次曲線上の点の垂足三角形となるような点Xの軌跡。

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

ルーカス三次曲線はX のチェバ三角形がダルブ―三次曲線上の点の垂足三角形となるような点Xの軌跡である。

ルーカス三次曲線は頂点、反中点三角形の頂点、シュタイナー外接楕円の焦点、重心、垂心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ド・ロンシャン点 などを通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle PlaneではK007 として登録されている。

第一ブロカール三次曲線

第一ブロカール三次曲線、第一ブロカール三角形を△A'B'C' とし、XA', XB', XC'とBC, CA, CB,のそれぞれの交点が共線であるような点Xの軌跡。

三線座標:$\sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

△A'B'C' を第一ブロカール三角形、X_A, X_B, X_C.をそれぞれXA′, XB′, XC′と BC, CA, AB,の交点とする。このときX_A, X_B, X_Cが共線となるような点Xの軌跡を第一ブロカール三次曲線と言う。

第一ブロカール三次曲線は頂点、第一,第三ブロカール点の頂点、重心、類似重心、シュタイナー点などを通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K017として登録されている。

第二ブロカール三次曲線

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

第二ブロカール三次曲線は直線XX*の、X,X*を通る外接円錐曲線に対する極がブロカール軸上にあるような点Xの軌跡である。頂点、重心、類似重心、フェルマー点、等力点、パリー点、第二,第四ブロカール三角形の頂点を通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K018として登録されている。

第一等積三次曲線

第一等積三次曲線:X のチェバ三角形とX*のチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡。

三線座標: $\sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

重心座標: $\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

第一等積三次曲線はX のチェバ三角形とX*のチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡である。X*が直線S*X 上(S = X(99),シュタイナー点)にあるような点Xの軌跡とも定義される。

第一等積三次曲線は内心と傍心、シュタイナー点 、第一,第二ブロカール点を通る。

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K021として登録されている。

第ニ等積三次曲線

三線座標: $(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)$

重心座標:$\sum _{\text{cyclic}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0$

第ニ等積三次曲線は三線座標で $X=x:y:z$ , $X_{Y}=y:z:x$, $X_{Z}=z:x:y.$ とし、X_YとX_Zのチェバ三角形の面積が等しくなるような点Xの軌跡である。

第ニ等積三次曲線は内心、重心、類似重心 X(31), X(105), X(238), X(292), X(365), X(672), X(1453), X(1931), X(2053)などを通る

Berhard GibertのCubics in the Triangle Planeでは K155として登録されている。

関連

• Twisted cubic
• 楕円曲線
• アーネシの曲線
• Catalogue of Triangle Cubics

参考文献

• Bix, Robert (2006), Conics and Cubics: A Concrete Introduction to Algebraic Curves (Second ed.), New York: Springer, ISBN 978-0387-31802-8, MR2242725, Zbl 1106.14014 .
• Cerin, Zvonko (1998), “Locus properties of the Neuberg cubic”, Journal of Geometry 63 (1–2): 39–56, doi:10.1007/BF01221237 .
• Cerin, Zvonko (1999), “On the cubic of Napoleon”, Journal of Geometry 66 (1–2): 55–71, doi:10.1007/BF01225672 .
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1995), “Some cubic curves associated with a triangle”, Journal of Geometry 53 (1–2): 41–66, doi:10.1007/BF01224039 .
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (1999), “Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 1)”, Journal of Geometry 66 (1–2): 72–103, doi:10.1007/BF01225673 .
• Cundy, H. M. & Parry, Cyril F. (2000), “Geometrical properties of some Euler and circular cubics (part 2)”, Journal of Geometry 68 (1–2): 58–75, doi:10.1007/BF01221061 .
• Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), “A Morley configuration”, Forum Geometricorum 1: 51–58 .
• Ehrmann, Jean-Pierre & Gibert, Bernard (2001), “The Simson cubic”, Forum Geometricorum 1: 107–114 .
• Gibert, Bernard (2003), “Orthocorrespondence and orthopivotal cubics”, Forum Geometricorum 3: 1–27 .
• Kimberling, Clark (1998), “Triangle Centers and Central Triangles”, Congressus Numerantium 129: 1–295 . See Chapter 8 for cubics.
• Kimberling, Clark (2001), “Cubics associated with triangles of equal areas”, Forum Geometricorum 1: 161–171, https://www.researchgate.net/publication/241067469 .
• Lang, Fred (2002), “Geometry and group structures of some cubics”, Forum Geometricorum 2: 135–146 .
• Pinkernell, Guido M. (1996), “Cubic curves in the triangle plane”, Journal of Geometry 55 (1–2): 142–161, doi:10.1007/BF01223040 .
• Salmon, George (1879), Higher Plane Curves (3rd ed.), Dublin: Hodges, Foster, and Figgis, https://books.google.com/books?id=pYGj2xY5Le4C .

外部リンク

• A Catalog of Cubic Plane Curves (archived version)
• Points on Cubics
• Cubics in the Triangle Plane
• Special Isocubics in the Triangle Plane (pdf), by Jean-Pierre Ehrmann and Bernard Gibert
• “Real and Complex Cubic Curves - John Milnor, Stony Brook University [2016]”. YouTube. Graduate Mathematics (2018年6月27日). 2024年3月24日閲覧。 lecture in July 2016, ICMS, Edinburgh at conference in honour of Dusa McDuff's 70th birthday