モチーフのL関数

数学の（モチーフのえるかんすう、英: motivic $L$ -functions）とは、ハッセ・ヴェイユの $L$ 関数を大域体上の一般のモチーフへと一般化したものである。有限素点 $v$ における局所 $L$ 因子はモチーフの $v$ 進実現における $v$ での惰性群で不変な空間に作用する $v$ におけるフロベニウス元の固有多項式によって与えられる。無限素点については、ジャン＝ピエール・セールが論文 (Serre 1970) にていわゆるガンマ因子のレシピをモチーフのホッジ実現の言葉で与えた。他の $L$ 関数同様、モチーフの $L$ 関数も複素平面全体へ有理型関数に解析接続でき、モチーフ $M$ の $L$ 関数 $L (s, M)$ をモチーフ $M$ の双対 $M \lor$ の $L$ 関数 $L (1 - s, M \lor)$ と関係づける関数等式があるだろうと予想されている^{[注釈 1]}。

諸例

アルティン $L$ 関数やハッセ・ヴェイユ $L$ 関数が基本的な例である。また、例えば (Scholl 1990) によって新形式（英語版）（原始的なカスプ形式のこと）に付随するモチーフが構成されているので、これの $L$ 関数もモチーフの $L$ 関数である。

モチーフの $L$ 関数について様々な予想が立てられている。モチーフの $L$ 関数はすべて保型 $L$ 関数として生じ^[1]、したがってセルバーグクラスの $L$ 関数であろうと信じられている。これらの $L$ 関数の整数での値に関する予想としては、ドリーニュ予想、ベイリンソン予想、ブロック・加藤（の $L$ 関数の特殊値についての）予想などがある。これらはリーマンゼータ関数については知られていることの一般化である。

^ 関数等式が $s$ における値と $w + 1 - s$ における値を関係付けるような正規化もよく用いられる。ここで $w$ はモチーフの重さ（weight）である。