ラヨ数

ラヨ数（ラヨすう、英: Rayo's number）とはアグスティン・ラヨにちなんで名付けられた巨大数であり、彼の手掛けた最大の数と主張されている 。これは元々2007年1月26日にマサチューセッツ工科大学 (MIT) にて行われたイベント「巨大数決闘（big number duelもしくはLarge Number Championship）」にて定義された。

定義

[集合論においてグーゴル個以内の記号で表現された任意の有限数よりも大きい最小の数]

この定義文は、ルール違反を避けるために以下のように置き換えられた。

数の正式の定義は以下の二階論理の式で定義された関数Sat([φ(x₁)],s)を利用する。[φ]はゲーデルコード化（ゲーデル数によるナンバリング）された式であり、sは代入変数である。

∀R {

{任意の（コード化された）式 [ψ] と任意の代入変数 t
(R( [ψ],t) ↔
( ([ψ] = `x_i ∈ x_j' ∧ t(x_1) ∈ t(x_j)) ∨
([ψ] = `x_i = x_j' ∧ t(x_1) = t(x_j)) ∨
([ψ] = `(∼θ)' ∧ ∼R([θ],t)) ∨
([ψ] = `(θ∧ξ)' ∧ R([θ],t) ∧ R([ξ],t)) ∨
([ψ] = `∃x_i (θ)' と、いくつかのtのxi変形t', R([θ],t'))
)} →

R([φ],s)}

この式Sat([φ(x₁)],s)を用いて、ラヨ数は次の様に定義された。

以下の性質を持つあらゆる有限数mよりも大きい最小の数。:（Satの定義と同様に）一階の集合論の言語においてグーゴル個未満の記号と唯一の自由変数x₁で表現される式 φ(x₁)の表す数。但しφ(x₁)は以下の条件を満たす。(a)Sat([φ(x₁)],s)及びm=x₁が成り立つ変数sがある。かつ（b）Sat([φ(x₁)],t)及びm=x₁が成り立つ変数tがある。

厳密には、公理系が明示的に書かれていないため、定義が不完全である。

説明

直観的には、ラヨ数は形式言語で次のように定義される:

• "x_i∈x_j" と "x_i=x_j" は原子論理式である。
• θ が式の際に、 "(~θ)" は式（ θ の否定）である。
• θ と ξ が式の際に、"(θ∧ξ)" は式（ θ と ξ の連言）である。
• θ が式の際に、 "∃x_i(θ)" は式（ θ の存在量化）である。

括弧を削除することは許可されていないことに注意が必要である。例えば、"∃x_i(~θ)" では無く "∃x_i((~θ))" と書かなくてはならない。

欠落している論理接続詞をこの言語で表現することは可能である。例えば：

• 論理和: "(θ∨ξ)" は "(~((~θ)∧(~ξ)))" と同等。
• 論理包含（含意）: "(θ⇒ξ)" は "(~(θ∧(~ξ)))" と同等。
• 二条件: "(θ⇔ξ)" は "((~(θ∧ξ))∧(~((~θ)∧(~ξ))))" と同等。
• 全称記号: "∀x_i(θ)" は "(~∃x_i((~θ)))" と同等。

この定義は、この言語の式の 1 つしかない自由変数、 x₁ に関するものである。 x₁ が有限の フォン・ノイマン順序数 k と 長さ n の式が同値の際、その様な式は k の "ラヨ文字列" であり、k は n 個の記号で "ラヨ命名可" であると言える。

外部リンク

• “ラヨ数 ｜ 巨大数研究 Wiki ｜ FANDOM powered by Wikia”. 2021年12月14日閲覧。
• “宇宙一でかい数を目指して--「ロマンティック数学ナイト」で語られた、巨大数をめぐる熱き戦い”. ログミー株式会社. 2017年12月9日閲覧。

関連項目

• 数学の哲学
• ベリーのパラドックス