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危険関数(きけんかんすう、: risk function)またはリスク関数は、決定理論および推定理論英語版において、損失関数英語版L期待値であり、決定則英語版δの危険関数をRとすると、以下のように定義される。

ここで、

  • は固定値であるが、状態(state of nature)がことによると不明である。
  • X確率論的に母集団から抽出された観測値のベクトルである。
  • は、全ての母集団Xの値の期待値である。
  • は、θによってパラメータが決定するXの事象空間を通した確率測度であり、積分Xの全体の支持の上に評価される。

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  • スカラーのパラメータ について、 をアウトプットする決定関数は、 の推定であり、二次の損失関数は次のようになる。
 
その危険関数は、推定の平均二乗誤差英語版となる。
 
  • 密度推定英語版において、未知のパラメータは確率密度(probability density)そのものである。その損失関数は、典型的に適切な関数空間における規範に選ばれる。例えば の規範は、次のようになる。
 
その危険関数は平均積分二乗誤差英語版となる。
 

参考文献編集

  • Nikulin, M.S. (2001), "Risk of a statistical procedure", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Berger, James O. (1985). Statistical decision theory and Bayesian Analysis (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96098-8. MR0804611. 
  • DeGroot, Morris (2004) [1970]. Optimal Statistical Decisions. Wiley Classics Library. ISBN 0-471-68029-X. MR2288194. 
  • Robert, Christian (2007). The Bayesian Choice (2nd ed.). New York: Springer. doi:10.1007/0-387-71599-1. ISBN 0-387-95231-4. MR1835885. 

関連項目編集