外接三角形

幾何学において、外接三角形 (がいせつさんかくけい、英:Tangential triangle)または接線三角形は、直角三角形でない三角形に対して定義される、三角形の外接円の頂点を通る接線の成す三角形である。直角三角形の場合、外接円の直角を持たない頂点の接線が平行になるため、外接三角形は定義できない。

  元の三角形 △ABC

  △ABCの外接円

  △ABCの垂足三角形△GHI

  △ABCの外接三角形△DEF

  △DEFと△GHIの相似変換とその中心 K

外接三角形は垂足三角形と相似の関係にある。その相似の中心X₂₅は、元の三角形のオイラー線上にあり、三線座標は以下の式で与えられる。

$\sin A\tan A:\sin B\tan B:\sin C\tan C$

外接三角形の外心X₂₆もオイラー線上にある。その三線座標は以下の式で与えられる。

$$a(b^{2}\cos 2B+c^{2}\cos 2C-a^{2}\cos 2A):b(c^{2}\cos 2C+a^{2}\cos 2A-b^{2}\cos 2B):c(a^{2}\cos 2A+b^{2}\cos 2B-c^{2}\cos 2C)$$

特徴

• 三角形とその外接三角形は配景的(英語版)である。また、配景の軸はルモワーヌ軸、配景の中心は類似重心である。
• 外接三角形の辺は「exsymmedian」とも呼ばれる。2つのexsymmedianの交点は、2つのexsymmedianに含まれない頂点を通る類似中線と交わる。
• 類似重心の反チェバ三角形は外接三角形である。
• ジェルゴンヌ三角形の外接三角形は元の三角形である。
• 外接三角形のジェルゴンヌ三角形は元の三角形である。
• 外接三角形の外接円、元の三角形の外接円と九点円は円束を成す。
• 外心の反垂足三角形は外接三角形である。

関連

• 円外接多角形
• エクセター点