配景
この項目「配景」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：英語版:Perspective_(geometry) 19:42, 5 June 2024） 修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2024年7月） |
点に関して配景（はいけい[1]、英: Perspective from point）であるとは、特に射影幾何学において、ある図形の対応する点を結ぶ直線がすべてある一点Oで交わることである[2]。 この双対、直線に関して配景（perspective from a line）であるとは、図形の対応する辺（またはその延長線）の交点が同一直線上にあることである。
配景の概念の射影幾何学における例としては平行線が無限遠点（無限遠直線上にある点）で交わることが挙げられる。 また、高次元の配景も、同様に定義することができる。
用語
編集図形の対応する辺（またはその延長線）のすべての交点を通る直線を配景の軸（axis of perspectivity, perspective axis, homology axis, 古くは perspectrix）という。
図形の対応する点を結ぶ直線の交点は配景の中心（center of perspectivity, perspective center, homology center, pole, 古くはperspector）または単に配景中心という[3][4]。
配景
編集いくつかの図形の対応する点すべてを通る直線（射影領域）が存在するとき、一方の射影領域の点をもう一方の射影領域へ移す変換を「central perspectivity」という。この変換の双対は、ある点を通る直線（束）を他の束へ移す変換である。これを「axial perspectivity」という[7]。
三角形
編集三角形の配景は特に重要な場合である。2つの三角形がある点に関して配景であるとき、その状態を「centrally perspective」といい、元の三角形は「central couple」と呼ばれる。2つの三角形がある直線に関して配景であるとき、 その状態を「axially perspective」といい、元の三角形は「axial couple」と呼ばれる[8]。
カール・フォンシュタウト は三角形の配景について記号 を導入した[9]。
関連する定理
編集デザルグの定理は三角形のcentral perspectiveとaxial perspectiveは同値であるという定理である。ユークリッド平面のデザルグの定理は、実射影平面 上で証明可能である。図形が一般の位置にない場合でも、もとの証明を少し修正したものを使用できる。デザルグの定理が成立する射影平面は「Desarguesian planes」と呼ばれる。
2種類の配景には延べ10個の点が関連する。6つは三角形の頂点で、他3つは配景の軸上の点、1つは配景の中心である。射影幾何学の双対性 によれば、点と同様に、10個の直線が配景に関連する。うち6つは三角形の辺、3つは配景の中心を通るもの、１つは配景の軸である。この10個の点と10個の線はDesargues configurationを作る。
2つの三角形が少なくとも2つの配置を持つ（対応する頂点の結び方が2通り以上あり、2つの配景の中心がある）とき、3つ目の辺の対応でも配景対応を作ることができる。これは、例えばパップスの六角形定理などと等しい表現である[10]。3つの対応のどれでも配景的であるとき、9点（頂点6つと配景の中心3つ）と、9つの直線（6つの辺と配景の中心を通る3つの直線）はPappus configurationを成す。
Reye configurationは、三次元上でのPappus configuration、つまり三角錐で4通りの配景の関係ができる構成である。
関連項目
編集出典
編集- ^ 世界大百科事典, 改訂新版. “配景(はいけい)とは？ 意味や使い方”. コトバンク. 2024年6月23日閲覧。
- ^ “デザルグの定理”. mixedmoss. 2024年7月22日閲覧。
- ^ Young 1930, p. 28
- ^ 中島鋭治『英和工学字典』丸善出版、1908年、43頁。doi:10.11501/845326。
- ^ 窪田忠彦『幾何学の基礎 (岩波全書)』岩波書店、1946年、10-15頁。doi:10.11501/1371935。
- ^ 森本清吾『近世幾何学』積善館、1929年、99-105頁。doi:10.11501/1171033。
- ^ Young 1930, p. 29
- ^ Dembowski 1968, p. 26
- ^ H. S. M. Coxeter (1942) Non-Euclidean Geometry, University of Toronto Press, reissued 1998 by Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4 . 21,2.
- ^ Coxeter 1969, p. 233 exercise 2
参考文献
編集- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR123930
- Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR0233275
- Young, John Wesley (1930), Projective Geometry, The Carus Mathematical Monographs (#4), Mathematical Association of America