代数学における n 個の変数 X1, …, Xn に関する差積(させき、: product of differences, difference product)とは

で与えられる多項式 Vn を言う。アレクサンドル゠テオフィル・ヴァンデルモンド英語版 に因んでヴァンデルモンド多項式とも、あるいはまたヴァンデルモンド行列行列式としてヴァンデルモンド行列式とも呼ばれる。
注意
この多項式が項の順番によって変化することに注意すべきである。すなわち、差積は交代式であって対称式でない。[注釈 1]
文献によっては逆順の Xi − Xj (i < j) を掛けるものと定義するものもある。この場合、上記の式とは全部で 個ある各項の符号が変わるので、 n が偶数のとき一致するが奇数のときは符号が逆になる。

交代多項式編集

差積を定義づける著しい性質はその変数の入れ替えに関する交代性である。つまり、変数 Xi たちのなす順序付けられた n-組に、奇置換を施したときには差積の符号が変わるが、その一方で偶置換を施しても差積の値は変化しない。実は差積は、もっとも単純な交代式(最簡交代式; the basic alternating polynomial) として特徴づけられる(後述)。

変数の順番を入れ替えると符号が変わることから、何れかふたつの変数が等しいときその差積は零に等しい。これは差積についてはその定義式から直接言えることではあるが、交代性からの帰結として交代式全般が持つ特徴である。すなわち、等しい二つの変数を互いに入れ替えても式は変わらない(が符号は変化する)から Vn = −Vn, すなわち Vn = 0 を得る。[注釈 1]

逆に、差積は任意の交代多項式を整除する。実際、先に述べた通り、任意の交代式はどの二つの変数についてもそれらが等しいとき零となるのだったから、因数定理により、任意の i < j に対する Xi − Xj が交代式の因数となる。帰結として

命題 (交代式の特徴づけ)
任意の交代多項式は、差積と対称多項式との積として書ける。

判別式編集

差積の平方は(等しいものがあるかどうかを判別する)判別式として広く知られる(が、差積自身を判別式とする文献もある[要出典])。

(−1)2 = 1 に注意すれば、差積の平方である判別式 Δ := Vn2 は、変数の入れ替えによって変化しない対称式であることは明らかである。すなわち、差積は与えられた変数の集合(非順序組)に対して定まる不変式となる。

n-変数対称多項式環 Λn に差積を添加して得られる二次拡大英語版   として n-変数交代多項式環を表すことができる。

多項式の根の差積編集

多項式が一つ与えられれば、その多項式の根の差積はその多項式の(最小)分解体に係数を持つ多項式として定まる。与えられた多項式が最高次係数 1 でないときは、最高次係数(それをいまは a とする)を掛けた

 
をヴァンデルモンド多項式とするほうが、多項式の判別式のよくある定義と整合(ヴァンデルモンド多項式の平方が判別式に一致)する。

一般化編集

任意の環上で考えるなら、交代多項式は差積とは別の多項式をもとに考えたほうが都合がよい(Romagny 2005)。

ワイルの指標公式編集

これは極めて一般化した状況ではあるが、差積をワイルの指標公式の特別の場合と見なすことができる。具体的には、特殊ユニタリ群 SU(n) に対する(自明表現の場合にあたる)ワイルの分母公式に差積が現れる。

関連項目編集

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注釈編集

  1. ^ a b 考えているあるいは標数 2 でないものと仮定する。標数 2 では交代式と対称式は同じ概念になる。

出典編集

参考文献編集

外部リンク編集