この項目では、ベクトルバンドルの接続に関する捩率について説明しています。曲線の捩率については「捩率 」をご覧ください。
捩率テンソル (れいりつテンソル、英 : torsion tensor )とは、アフィン接続 ∇ に対し、
T
∇
(
X
,
Y
)
:=
∇
X
Y
−
∇
Y
X
−
[
X
,
Y
]
{\displaystyle T_{\nabla }(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}
により定義されるテンソルである。「捩率」という名称に関してはLoring W. Tu は「
T
∇
(
X
,
Y
)
{\displaystyle T_{\nabla }(X,Y)}
を「捩率」と呼ぶうまい理由は無い ように見える」[1] と述べており、Michael Spivak も同様の事を述べているなど[2] 、「捩れ」としての意味付けはできない。
しかし後述するようにねじれテンソルは微分の非可換性を表す量として意味づけでき、さらにカルタン幾何学 における曲率概念の「並進」部分としても意味づけできる。
定義と性質
編集
捩率テンソルを定義するため、アフィン接続の定義を述べる:
ここでX 、Y 、Z はM 上のベクトル場であり、a 、b は実数であり、f 、f1 、f2 はM 上定義された任意の実数値可微分関数であり、
f
s
{\displaystyle fs}
は点u において
f
(
u
)
s
u
{\displaystyle f(u)s_{u}}
となるE の切断であり、
X
(
f
)
{\displaystyle X(f)}
はf のX 方向微分である。
定義 (捩率テンソル ) ― X 、Y をM 上のベクトル場とするとき、
T
∇
(
X
,
Y
)
:=
∇
X
Y
−
∇
Y
X
−
[
X
,
Y
]
{\displaystyle T_{\nabla }(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}
を捩率テンソル という。
明らかに次が成立する:
定理 ― 捩率テンソルは以下を満たす[4] :
T
∇
(
X
,
Y
)
=
−
T
∇
(
Y
,
X
)
{\displaystyle T_{\nabla }(X,Y)=-T_{\nabla }(Y,X)}
局所座標
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}
で
T
∇
(
X
,
Y
)
=
X
j
Y
k
(
∇
∂
j
∂
k
−
∇
∂
k
∂
j
)
=
X
j
Y
k
(
Γ
i
j
k
−
Γ
i
k
j
)
∂
i
{\displaystyle T_{\nabla }(X,Y)=X^{j}Y^{k}(\nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}-\nabla _{\partial _{k}}\partial _{j})=X^{j}Y^{k}(\Gamma ^{i}{}_{jk}-\Gamma ^{i}{}_{kj})\partial _{i}}
である(アインシュタインの縮約記法 で表記)。ここで
∂
i
:=
∂
∂
x
i
{\displaystyle \partial _{i}:={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}
であり、
Γ
i
j
k
{\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}}
はクリストッフェル記号
∇
∂
j
∂
k
=
Γ
i
j
k
∂
i
{\displaystyle \nabla _{\partial _{j}}\partial _{k}=\Gamma ^{i}{}_{jk}\partial _{i}}
である。この具体的表記から以下の系が従う:
系 ― 点
P
∈
M
{\displaystyle P\in M}
における捩率テンソルの値
T
∇
(
X
,
Y
)
|
P
{\displaystyle T_{\nabla }(X,Y)|_{P}}
は点P におけるX 、Y の値XP 、YP のみに依存して決まり、P 以外の点Q における値XQ 、YQ には依存しない。
よって特に
T
∇
∈
T
∗
M
×
T
∗
M
×
T
M
{\displaystyle T_{\nabla }\in T^{*}M\times T^{*}M\times TM}
とみなせる。また
T
∇
(
X
,
Y
)
=
T
j
k
i
X
j
Y
k
∂
∂
x
i
{\displaystyle T_{\nabla }(X,Y)=T_{jk}^{i}X^{j}Y^{k}{\partial \over \partial x^{i}}}
と書くとき、次が成立する[5] [6] :
系 ― 任意のi 、j 、k に対し、
T
j
k
i
=
Γ
j
k
i
−
Γ
k
j
i
{\displaystyle T_{jk}^{i}=\Gamma _{jk}^{i}-\Gamma _{kj}^{i}}
よって捩率テンソルが恒等的に0 になる接続、すなわち捩れなし (英 : torsion-free )の場合、Γi jk はj 、k に対して対象なテンソルになる。このため捩れなしの接続の事を対称 (英 : symmetric )な接続ともいう[5] 。
外微分 d に対し、次が成立する:
証明
⟨
η
,
T
∇
(
X
,
Y
)
⟩
=
⟨
η
,
∇
X
Y
⟩
−
⟨
η
,
∇
Y
X
⟩
−
d
η
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \langle \eta ,T_{\nabla }(X,Y)\rangle =\langle \eta ,\nabla _{X}Y\rangle -\langle \eta ,\nabla _{Y}X\rangle -d\eta (X,Y)}
であることから従う。
すなわち
∇
{\displaystyle \nabla }
が捩れなしである事は、
∇
{\displaystyle \nabla }
が外微分と「両立」する事と同値である。
意味づけ
編集
「捩率」という名称に関してはLoring W. Tu によれば「
T
∇
(
X
,
Y
)
{\displaystyle T_{\nabla }(X,Y)}
を「捩率」と呼ぶうまい理由は無いように見える」[1] が、このテンソルには以下のような意味付けが可能である。
なめらかな任意の写像
α
:
U
⊂
R
2
→
M
{\displaystyle \alpha ~:~U\subset \mathbb {R} ^{2}\to M}
に対し、リー括弧の性質より
[
∂
∂
x
α
,
∂
∂
y
α
]
=
0
{\displaystyle [{\tfrac {\partial }{\partial x}}\alpha ,{\tfrac {\partial }{\partial y}}\alpha ]=0}
であることから、
∇
∂
x
:=
∇
∂
∂
x
{\displaystyle {\tfrac {\nabla }{\partial x}}:=\nabla _{\tfrac {\partial }{\partial x}}}
とすると、次が成立する:
定理 ― 記号を上述のように取るとき、以下が成立する:
T
∇
(
∂
∂
x
α
,
∂
∂
y
α
)
=
∇
∂
x
∂
∂
y
α
−
∇
∂
y
∂
∂
x
α
{\displaystyle T_{\nabla }({\tfrac {\partial }{\partial x}}\alpha ,{\tfrac {\partial }{\partial y}}\alpha )={\tfrac {\nabla }{\partial x}}{\tfrac {\partial }{\partial y}}\alpha -{\tfrac {\nabla }{\partial y}}{\tfrac {\partial }{\partial x}}\alpha }
すなわち捩率テンソルは2つの微分の非可換度合いを表す量である [7] 。
他の概念との関係性
編集
リーマン多様体におけるレヴィ・チヴィタ接続は捩率テンソルが0 でしかも計量と「両立」するアフィン接続として特徴づけられる:
定理 (リーマン幾何学の基本定理 ) ―
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
をリーマン多様体 とし、∇ をM 上定義されたアフィン接続とする。このとき、∇ がレヴィ・チヴィタ接続 は以下の2つの性質を満たす。また以下の2性質を両方満たすアフィン接続∇ はレヴィ・チヴィタ接続に限られる[8] :
∇ は捩れなしである。
M 上の任意のベクトル場X 、Y 、Z に対し、
Z
(
g
(
X
,
Y
)
)
=
g
(
∇
Z
X
,
Y
)
+
g
(
X
,
∇
Z
Y
)
{\displaystyle Z(g(X,Y))=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)}
また∇ をアフィン接続とするとき、∇ と(パラメータを込めて)同一の測地線 [注 1] を定め、しかも捩れがないアフィン接続が存在する:
また次が成立する:
捩率形式
編集
定義 ―
局所的な基底
e
1
,
…
,
e
n
∈
T
M
{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}\in TM}
に対し、捩率テンソルを
T
(
X
,
Y
)
=
τ
i
(
X
,
Y
)
e
i
{\displaystyle T(X,Y)=\tau ^{i}(X,Y)e_{i}}
と成分表示して得られる2-形式
τ
i
{\displaystyle \tau ^{i}}
を並べてできる縦ベクトル
τ
=
t
(
τ
1
,
…
,
τ
m
)
{\displaystyle \tau ={}^{t}(\tau ^{1},\ldots ,\tau ^{m})}
を基底
(
e
1
,
…
,
e
m
)
{\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})}
に関する∇ の捩率形式 (英 : torsion form )という[11] [注 2] 。
さらに行列値1-形式
ω
=
(
ω
i
j
)
i
j
{\displaystyle \omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}}
を
∇
X
e
j
=
ω
i
j
(
X
)
e
i
{\displaystyle \nabla _{X}e_{j}=\omega ^{i}{}_{j}(X)e_{i}}
により定義し、ω を基底
(
e
1
,
…
,
e
m
)
{\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})}
に関する∇ の接続形式 といい、曲率テンソル
R
(
X
,
Y
)
Z
=
∇
X
∇
Y
Z
−
∇
Y
∇
X
Z
−
∇
[
X
,
Y
]
Z
{\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}
に対し、行列値2-形式
Ω
=
(
Ω
i
j
)
i
j
{\displaystyle \Omega =(\Omega ^{i}{}_{j})_{ij}}
を
R
(
X
,
Y
)
e
j
=
Ω
i
j
(
X
,
Y
)
e
i
{\displaystyle R(X,Y)e_{j}=\Omega ^{i}{}_{j}(X,Y)e_{i}}
により定義し、ω を基底
(
e
1
,
…
,
e
m
)
{\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})}
に関する∇ の曲率形式 という。
局所的な基底
e
1
,
…
,
e
n
∈
T
M
{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}\in TM}
の双対基底を
θ
1
,
…
,
θ
n
∈
T
∗
M
{\displaystyle \theta ^{1},\ldots ,\theta ^{n}\in T^{*}M}
とすると[注 3] 、これらは1形式である。これらを並べた縦ベクトルを
θ
=
t
(
θ
1
,
…
,
θ
n
)
{\displaystyle \theta ={}^{t}(\theta ^{1},\ldots ,\theta ^{n})}
とする。このとき、次が成立する:
定理 ― アフィン接続は次を満たす:
(カルタンの)第一構造方程式 [13] (英 : (Cartan's) first structural equation )[14] :
τ
=
d
θ
+
ω
∧
θ
{\displaystyle \tau =d\theta +\omega \wedge \theta }
ビアンキの第一恒等式 (英 : first Bianchi identity )[14] :
d
τ
=
Ω
∧
θ
−
ω
∧
τ
{\displaystyle d\tau =\Omega \wedge \theta -\omega \wedge \tau }
ここでウェッジ積
ω
∧
θ
{\displaystyle \omega \wedge \theta }
は行列
ω
(
X
)
{\displaystyle \omega (X)}
とベクトル
θ
(
Y
)
{\displaystyle \theta (Y)}
の積
ω
(
X
)
θ
(
Y
)
{\displaystyle \omega (X)\theta (Y)}
を用いて
ω
∧
θ
(
X
,
Y
)
:=
ω
(
X
)
θ
(
Y
)
−
ω
(
Y
)
θ
(
X
)
{\displaystyle \omega \wedge \theta (X,Y):=\omega (X)\theta (Y)-\omega (Y)\theta (X)}
=
(
ω
i
j
∧
θ
j
(
X
,
Y
)
)
i
{\displaystyle =(\omega ^{i}{}_{j}\wedge \theta ^{j}(X,Y))_{i}}
により定義される。
Ω
∧
θ
{\displaystyle \Omega \wedge \theta }
、
ω
∧
τ
{\displaystyle \omega \wedge \tau }
も同様に定義される。また曲率形式は以下を満たす:
定理 ―
(カルタンの)第二構造方程式 [15] (英 : (Cartan's) second structural equation )[16] :
Ω
=
d
ω
+
ω
∧
ω
{\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }
ビアンキの第二恒等式 (英 : second Bianchi identity )[17] :
d
Ω
=
Ω
∧
ω
−
ω
∧
Ω
{\displaystyle d\Omega =\Omega \wedge \omega -\omega \wedge \Omega }
接続行列のウェッジ積
ω
∧
ω
{\displaystyle \omega \wedge \omega }
は行列積
ω
∧
ω
(
X
,
Y
)
=
ω
(
X
)
ω
(
Y
)
−
ω
(
Y
)
ω
(
X
)
{\displaystyle \omega \wedge \omega (X,Y)=\omega (X)\omega (Y)-\omega (Y)\omega (X)}
=
(
ω
i
k
∧
ω
k
j
(
X
,
Y
)
)
i
j
{\displaystyle =(\omega ^{i}{}_{k}\wedge \omega ^{k}{}_{j}(X,Y))_{ij}}
の事である。
Ω
∧
ω
{\displaystyle \Omega \wedge \omega }
や
Ω
∧
Ω
{\displaystyle \Omega \wedge \Omega }
も同様に定義する。
ビアンキの第一および第二恒等式は以下のようにも書くことができる:
定理 ― M 上のベクトル場X1 、X2 、X3 に対し、以下が成立する:
ビアンキの第一恒等式 [18] :
∑
i
∈
Z
3
R
(
X
i
,
X
i
+
1
)
X
i
+
2
=
∑
i
∈
Z
3
T
(
T
(
X
i
,
X
i
+
1
)
,
X
i
+
2
)
+
(
∇
X
i
T
)
(
X
i
+
1
,
X
i
+
2
)
{\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} _{3}}R(X_{i},X_{i+1})X_{i+2}=\sum _{i\in \mathbb {Z} _{3}}T(T(X_{i},X_{i+1}),X_{i+2})+(\nabla _{X_{i}}T)(X_{i+1},X_{i+2})}
ビアンキの第二恒等式 [18] :
∑
i
∈
Z
3
(
∇
X
i
R
)
(
X
i
+
1
,
X
i
+
2
)
+
R
(
T
(
X
i
,
X
i
+
1
)
,
X
i
+
2
)
=
0
{\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} _{3}}(\nabla _{X_{i}}R)(X_{i+1},X_{i+2})+R(T(X_{i},X_{i+1}),X_{i+2})=0}
ここで添字は「mod 3 」で考える。すなわち「
∑
i
∈
Z
3
{\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} _{3}}}
」は巡回和である。
フレームバンドルにおける捩率形式
編集
点
P
∈
M
{\displaystyle P\in M}
に対し、
T
P
M
{\displaystyle T_{P}M}
の基底全体の集合を
F
P
(
M
)
{\displaystyle F_{P}(M)}
とし、
F
(
M
)
:=
∪
P
∈
M
F
P
(
M
)
{\displaystyle F(M):=\cup _{P\in M}F_{P}(M)}
とすると、
F
(
M
)
{\displaystyle F(M)}
には自然に主バンドル としての構造が入る。
F
(
M
)
{\displaystyle F(M)}
をM (の接バンドル)のフレームバンドル (英語版 ) という。
本節では、捩率形式をフレームバンドル上のベクトル値微分形式として再定義し、その性質を見る。
フレームバンドル上に捩率形式を定義するため、いくつか定義を導入する。
F
(
M
)
{\displaystyle F(M)}
には主接続 でその接続形式
ω
~
{\displaystyle {\tilde {\omega }}}
が
ω
e
=
e
∗
(
ω
~
)
{\displaystyle \omega _{e}=e^{*}({\tilde {\omega }})}
を満たすものが一意に存在する[19] 。ここでω は開集合
U
⊂
M
{\displaystyle U\subset M}
上定義されたTM の基底
e
=
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})}
に関する∇ の接続形式であり、
e
∗
(
ω
~
)
{\displaystyle e^{*}({\tilde {\omega }})}
はe をU から
F
(
M
)
{\displaystyle F(M)}
への写像とみなしたときの
ω
~
{\displaystyle {\tilde {\omega }}}
の引き戻しである。
さらに
F
(
M
)
{\displaystyle F(M)}
上定義されたベクトル値1-形式
θ
~
{\displaystyle {\tilde {\theta }}}
を
e
=
(
e
1
,
…
,
e
n
)
∈
F
P
(
M
)
{\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in F_{P}(M)}
と
ξ
∈
T
e
F
(
M
)
{\displaystyle \xi \in T_{e}F(M)}
に対し、
θ
~
e
(
ξ
)
=
t
(
v
1
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle {\tilde {\theta }}_{e}(\xi )={}^{t}(v^{1},\ldots ,v^{n})}
where
π
∗
(
ξ
)
=
v
i
e
i
{\displaystyle \pi _{*}(\xi )=v^{i}e_{i}}
となるように定義する。
θ
~
{\displaystyle {\tilde {\theta }}}
を
F
(
M
)
{\displaystyle F(M)}
の標準形式 (英 : canonical form )という[20] 。
e
=
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})}
の双対基底を
θ
=
(
θ
1
,
…
,
θ
n
)
{\displaystyle \theta =(\theta ^{1},\ldots ,\theta ^{n})}
とすると、定義より明らかに
θ
e
=
e
∗
(
θ
~
)
{\displaystyle \theta _{e}=e^{*}({\tilde {\theta }})}
である。
フレームバンドル上の捩率形式
τ
~
{\displaystyle {\tilde {\tau }}}
および曲率形式
Ω
~
{\displaystyle {\tilde {\Omega }}}
を第一および第二構造方程式により定義する:
定義から明らかなように次が成立する:
定義 ―
τ
e
=
e
∗
(
τ
~
)
{\displaystyle \tau _{e}=e^{*}({\tilde {\tau }})}
Ω
e
=
e
∗
(
Ω
~
)
{\displaystyle \Omega _{e}=e^{*}({\tilde {\Omega }})}
よって特に、アフィン接続∇ の捩率形式τ と曲率形式Ω が構造方程式やビアンキ恒等式を満たす事から、主接続の捩率形式
τ
~
{\displaystyle {\tilde {\tau }}}
、および曲率形式
Ω
~
{\displaystyle {\tilde {\Omega }}}
も構造方程式やビアンキ恒等式を満たす:
第一構造方程式:
τ
~
=
d
θ
~
+
ω
~
∧
θ
~
{\displaystyle {\tilde {\tau }}=d{\tilde {\theta }}+{\tilde {\omega }}\wedge {\tilde {\theta }}}
ビアンキの第一恒等式:
d
τ
~
=
Ω
~
∧
θ
~
−
ω
~
∧
τ
~
{\displaystyle d{\tilde {\tau }}={\tilde {\Omega }}\wedge {\tilde {\theta }}-{\tilde {\omega }}\wedge {\tilde {\tau }}}
第二構造方程式:
Ω
~
=
d
ω
~
+
ω
~
∧
ω
~
{\displaystyle {\tilde {\Omega }}=d{\tilde {\omega }}+{\tilde {\omega }}\wedge {\tilde {\omega }}}
ビアンキの第二恒等式:
d
Ω
~
=
Ω
~
∧
ω
~
−
ω
~
∧
Ω
~
{\displaystyle d{\tilde {\Omega }}={\tilde {\Omega }}\wedge {\tilde {\omega }}-{\tilde {\omega }}\wedge {\tilde {\Omega }}}
また主バンドル上の共変外微分
d
ω
~
{\displaystyle d_{\tilde {\omega }}}
を用いると、捩率形式と曲率形式は以下のようにも表現できる事が知られている:
定理 ― 以下が成立する[21]
τ
~
=
d
ω
~
θ
~
{\displaystyle {\tilde {\tau }}=d_{\tilde {\omega }}{\tilde {\theta }}}
Ω
~
=
d
ω
~
ω
~
{\displaystyle {\tilde {\Omega }}=d_{\tilde {\omega }}{\tilde {\omega }}}
カルタン幾何学における捩率形式の解釈
編集
^ ここで「∇ と∇' がパラメータを込めて同一の測地線を定める」は
P
(
s
)
{\displaystyle P(s)}
が∇ の測地線であれば、同じパラメータs に対して
P
(
s
)
{\displaystyle P(s)}
が∇' の測地線になり、その逆も成り立つという意味である。
P
(
s
)
{\displaystyle P(s)}
を別の変数t に変換した
P
(
s
(
t
)
)
{\displaystyle P(s(t))}
が∇' の測地線になる場合は考慮していない。
^ #Tu p.84.ではτ 自身ではなくその成分
τ
1
,
…
,
τ
m
{\displaystyle \tau ^{1},\ldots ,\tau ^{m}}
の事を捩率形式と呼んでいる。
^
e
i
=
∂
∂
x
i
{\displaystyle e_{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}
であれば
θ
i
=
d
x
i
{\displaystyle \theta ^{i}=dx^{i}}
であるが、必ずしも
e
i
=
∂
∂
x
i
{\displaystyle e_{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}}
でなくともよい[12] 。
参考文献
編集