極円 (幾何学)

幾何学において、三角形の極円（きょくえん、英:polar circle）は垂心を中心とし、半径の二乗が以下の式で表される円である^[1]。

{\begin{aligned}r^{2}&={\overline {HA}}\times {\overline {HD}}={\overline {HB}}\times {\overline {HE}}={\overline {HC}}\times {\overline {HF}}\\[4pt]&=-4R^{2}\cos A\cos B\cos C\\[4pt]&=4R^{2}-{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\end{aligned}}

ここで

A, B, C

は三角形の頂点、

H

は垂心 (3本の頂垂線の交点)、

D, E, F

は

A, B, C

に対する垂足、

R

は外接円の半径、

a, b, c

は

A, B, C

の対辺の長さである。

一行目の右辺は $A, D$ が極円で反転の関係にあることを表す。二行目は半径を三角法で表したものであり、式からわかるように極円は鋭角三角形では定義できない。

性質編集

△ ABC

△ ABC

e

(中心は外心

L

)

接線三角形の外接円

s

(中心は

K

)

△ ABC

t

(中心は

M

)

△ ABC

の極円

d

(中心は

H

)

上記の円の中心はすべてオイラー線上にある。

^ Weisstein, Eric W.. “Polar Circle” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月13日閲覧。