等エントロピー流 (isentropic flow) は、断熱的で可逆な流れ である。すなわち、流れに対してエネルギーは加えられず、摩擦 や散逸 によるエネルギー損失も起きない。理想気体の等エントロピー流において、流線に沿った圧力、密度、温度の関係式が定義できる。
等エントロピー関係式の導出 編集 閉鎖系において、系全体のエネルギー変化は、行った仕事と追加された熱の総和である。
d
U
=
d
W
+
d
Q
{\displaystyle dU=dW+dQ\,\!}
体積の変化で系がなした仕事は次の式で表される。
d
W
=
−
p
d
V
{\displaystyle dW=-pdV\,\!}
ここで
p
{\displaystyle p}
圧力 、
V
{\displaystyle V}
体積 である。エンタルピー (
H
=
U
+
p
V
{\displaystyle H=U+pV\,\!}
d
H
=
d
U
+
p
d
V
+
V
d
p
=
n
C
p
d
T
{\displaystyle dH=dU+pdV+Vdp=nC_{p}dT\,\!}
可逆過程は断熱過程なので（すなわち、熱を外界とやり取りしない）、
d
Q
=
0
,
d
S
=
0
{\displaystyle dQ=0,dS=0\,\!}
d
U
=
−
p
d
V
{\displaystyle dU=-pdV\,\!}
d
H
=
V
d
p
{\displaystyle dH=Vdp\,\!}
d
Q
=
d
H
−
V
d
p
=
0
{\displaystyle dQ=dH-Vdp=0\,\!}
d
Q
=
T
d
S
{\displaystyle dQ=TdS\,\!}
d
S
=
(
1
/
T
)
d
H
−
(
V
/
T
)
d
p
{\displaystyle dS=(1/T)dH-(V/T)dp\,\!}
すると、比熱比 は次のようになる。
γ
=
C
p
C
V
=
−
d
p
/
p
d
V
/
V
{\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}=-{\frac {dp/p}{dV/V}}\,\!}
理想気体では
γ
{\displaystyle \gamma \,\!}
p
V
γ
=
constant
{\displaystyle pV^{\gamma }={\mbox{constant}}\,}
p
2
p
1
=
(
V
1
V
2
)
γ
{\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }}
理想気体の状態方程式
p
V
=
n
R
T
{\displaystyle pV=nRT\,\!}
T
V
γ
−
1
=
constant
{\displaystyle TV^{\gamma -1}={\mbox{constant}}\,}
p
γ
−
1
T
γ
=
constant
{\displaystyle {\frac {p^{\gamma -1}}{T^{\gamma }}}={\mbox{constant}}}
また、
C
p
=
C
v
+
R
{\displaystyle C_{p}=C_{v}+R}
V
T
=
n
R
p
{\displaystyle {\frac {V}{T}}={\frac {nR}{p}}}
p
=
n
R
T
V
{\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}}
S
2
−
S
1
=
n
C
p
ln
(
T
2
T
1
)
−
n
R
ln
(
p
2
p
1
)
{\displaystyle S_{2}-S_{1}=nC_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-nR\ln \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)}
S
2
−
S
1
n
=
C
p
ln
(
T
2
T
1
)
−
R
ln
(
T
2
V
1
T
1
V
2
)
=
C
v
ln
(
T
2
T
1
)
+
R
ln
(
V
2
V
1
)
{\displaystyle {\frac {S_{2}-S_{1}}{n}}=C_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {T_{2}V_{1}}{T_{1}V_{2}}}\right)=C_{v}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)+R\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}
以上から、理想気体の等エントロピー過程について、次が成り立つ。
T
2
=
T
1
(
V
1
V
2
)
(
R
/
C
v
)
{\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(R/C_{v})}}
V
2
=
V
1
(
T
1
T
2
)
(
C
v
/
R
)
{\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{(C_{v}/R)}}
理想気体の等エントロピー関係式一覧 編集
p
2
p
1
{\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}}
=
{\displaystyle =\,\!}
(
T
2
T
1
)
γ
γ
−
1
{\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}}
=
{\displaystyle =\,\!}
(
ρ
2
ρ
1
)
γ
{\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{\gamma }}
=
{\displaystyle =\,\!}
(
V
1
V
2
)
γ
{\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }}
T
2
T
1
{\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}}
=
{\displaystyle =\,\!}
(
p
2
p
1
)
γ
−
1
γ
{\displaystyle \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}}
=
{\displaystyle =\,\!}
(
ρ
2
ρ
1
)
(
γ
−
1
)
{\displaystyle \left({\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}\right)^{(\gamma -1)}}
=
{\displaystyle =\,\!}
(
V
1
V
2
)
(
γ
−
1
)
{\displaystyle \left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(\gamma -1)}}
ρ
2
ρ
1
{\displaystyle {\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}}
=
{\displaystyle =\,\!}
(
T
2
T
1
)
1
γ
−
1
{\displaystyle \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}
=
{\displaystyle =\,\!}
(
p
2
p
1
)
1
γ
{\displaystyle \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}
=
{\displaystyle =\,\!}
V
1
V
2
{\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}}
V
2
V
1
{\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}}
=
{\displaystyle =\,\!}
(
T
1
T
2
)
1
γ
−
1
{\displaystyle \left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma -1}}}
=
{\displaystyle =\,\!}
ρ
1
ρ
2
{\displaystyle {\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}}
=
{\displaystyle =\,\!}
(
p
1
p
2
)
1
γ
{\displaystyle \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)^{\frac {1}{\gamma }}}
前提は次の通り。
p
V
γ
=
constant
{\displaystyle pV^{\gamma }={\text{constant}}\,\!}
p
V
=
m
R
s
T
{\displaystyle pV=mR_{s}T\,\!}
p
=
ρ
R
s
T
{\displaystyle p=\rho R_{s}T\,\!\,\!}
ここで:
p
{\displaystyle p\,\!}
V
{\displaystyle V\,\!}
γ
{\displaystyle \gamma \,\!}
C
p
/
C
v
{\displaystyle C_{p}/C_{v}\,\!}
T
{\displaystyle T\,\!}
m
{\displaystyle m\,\!}
R
s
{\displaystyle R_{s}\,\!}
気体定数 =
R
/
M
{\displaystyle R/M\,\!}
R
{\displaystyle R\,\!}
M
{\displaystyle M\,\!}
ρ
{\displaystyle \rho \,\!}
C
p
{\displaystyle C_{p}\,\!}
C
v
{\displaystyle C_{v}\,\!}
