米田の補題(よねだのほだい、: Yoneda lemma)とは、小さなhom集合をもつ C について、共変あるいは反変hom関手 hom(A , _), hom(_, A) から集合値関手 F への自然変換と、値となる集合 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた[1][2][3]。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという[4]。ただし、エミリー・リール英語版によれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは Grothendieck (1960) である[5]

米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」[6]「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもしれない」[7]と言われている。

概要

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主張の内容

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C を局所的に小さい(locally small)圏とする。すなわち C の各対象 A, B に対して hom(A, B) は集合であるとする。対象 A を固定するとき、共変hom関手 HA = hom(A, _) : CSet は対象 X に対して、集合 hom(A, X) を割り当て、射 f : XY に対して写像 hom(A, f) = f ◦ (_) : hom(A, X) → hom(A, Y) を割り当てる関手であった。さらに、 F : CSet を集合値関手とし、HA から F へのすべての自然変換のクラス Nat(HA, F) について考える。

このとき、米田写像(Yoneda map)と呼ばれる全単射 が存在し、この同型は ACFSetC について自然である、という主張が米田の補題である。また、F が反変関手 CopSet である場合も、反変hom関手 HA = hom(_, A) との間に という全単射が存在して、これは AF について自然となる。このことはどちらも米田の補題と呼ばれる。

米田写像の対応

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関手 F は共変 (CSet) とする。このとき、共変hom関手 HA = hom(A, _) から F への自然変換 τ : HAF は、任意の C の射 f : XY に対して   が定義から成り立つ。いま、f : AY の場合に、A での恒等射 idA がどのように写るかを追うことで、等式 を得る。ここから、自然変換 τ : HAF の情報は   から全て得られることがわかる。

証明

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米田写像 y を、自然変換 τ に対して   で定める。y が全単射であることを示す。

単射性aF(A) に対して、自然変換 τ : HAF が存在して y(τ) = a であったとする。このとき、任意の射 f : AY に対して τ  を満たす。これにより τ の全てのコンポーネントが一意に定まる、すなわちそのような τ は一意に定まるため、y は単射である。

全射性aF(A) を任意に固定する。C の対象 X それぞれに対して、写像 τX : hom(A, X) → F(X)  で定める。このとき、f : XYg : AX に対して   が成り立つことから、τX はある自然変換 τ : HAF のコンポーネントである。定義から τA(idA) = a であるため y(τ) = a が成り立つ。すなわち y は全射である。

補題の帰結

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普遍性

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集合値関手 F : CSet が、ある HA = hom(A, _) と自然同型であるとき、F表現可能関手 (representable functor) といい、AF の表現対象 (representing object) あるいは単に F の表現という。F が表現可能関手であるとき、米田の補題の帰結として次の主張が成り立つ。

定理 (Leinster 2014, Corollary 4.3.3) ― C が局所的に小さく、関手 F : CSet は表現可能とする。このとき、F の表現は以下の条件が成り立つような C の対象 AuF(A) の組によって構成される。

  • 任意の BCxF(B) の組に対して、C の射 x : AB がただ1つ存在して、Fx(u) = x が成り立つ。

逆に、上記定理の条件を満たす AuF(A) の組を F の普遍要素 (universal element) と呼ぶ。より一般に、関手 F : CDdD に対して、dF への普遍性 (universality) とは、ACD の射 u : dFA の組であって、任意の BCD の射 x : dFB に対して、C の射 x : AB がただ1つ存在して、Fxu = x が成り立つことを言う。

普遍要素の性質は一点集合からの普遍性と言えて、普遍性は D(d, F_) : CSet の普遍要素として表現できるため、普遍性・普遍要素・表現可能関手はそれぞれ互いの概念を包含する[8]

米田埋め込み

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米田写像の自然性から、対象 AC に関手 HA = hom(A, _)、あるいは HA = hom(_, A) を割り当てる操作は、関手

 を構成する。米田の補題から   であるため、H (H) は忠実充満であることが言える。このことから、H (H) を米田埋め込み (Yoneda embedding) とも呼ぶ。米田埋め込みは Y [9] [10][11]などの記号によって表されることもある。

関手 F : CSet に対して、F の「要素の圏」(category of elements) El A とは、XCxFX の組とその関係を保つ C の射からなる圏 (すなわち、米田埋め込み YC: CopSetC を用いたコンマ圏 YCF) のことである。El A から C の情報を取り出す関手を ΦF : El FCop と表すとき、FYC ◦ ΦF : El FSetC の余極限 (と同型) である[12]。つまり、任意の集合値関手は表現可能関手による余極限として表される。

前層の部分対象分類子

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部分対象分類子の可換図式

有限の極限を持つ圏 C 上の前層(英語: presheafとは C からの反変関手 P : CopSet のことであり、このとき前層の圏を ˆC = SetCop で表す。圏 ˆC部分対象分類子(英語: subobject classifierとは、(存在するならば) ˆC の対象 Ωモノ射 true : 1 → Ω (1終対象) であって、任意のモノ射 j : UX に対して、χjj = true かつその可換図式が引き戻しとなるような   がただ1つ存在するようなものを言う。

前層の圏 ˆC への米田埋め込みを Y: CSetCop で表すとする。いま、ˆC に部分対象分類子 Ω : CopSet が存在するならば、特に YC = HomC(_, C) (CC) について が成り立つ (右の同型が米田の補題から従う)。部分対象分類子の定義から、左辺の集合は YC の部分対象の集合と互いに1対1対応する。従って、等式全体が C について自然であることから、ˆC は必ず部分対象分類子を持ち、それは表現可能な前層 YC の部分対象を調べればよいことがわかる[13]

豊穣圏での補題

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豊穣圏とは、通常の圏におけるhom集合 (すなわち対象の間の射の集合) の代わりに、順序集合加法群、その他の対象 (一般には、あるモノイダル圏 V の対象として記述される) を割り当てるような一般化した構造であり、例えばこの意味で通常の圏は Set-豊穣圏、2-圏は Cat-豊穣圏と言える。豊穣圏の理論では、V の条件によって (具体的には完備かどうかによって) 米田の補題は強いものと弱いものに分けられる。

(弱い) 米田の補題 (Kelly 2005, p. 21, §1.9) ― V は対称モノイダル閉、AV-豊穣圏で K はその対象、F : AVV-関手とする。このとき、A(K, _) から F への V-自然変換の集合と、圏 V における I (モノイダル積の単位対象) から FK への射の集合の間には全単射が存在する。

(強い) 米田の補題 (Kelly 2005, pp. 33–34, §2.4) ― V は対称モノイダル閉かつ完備とする。このとき、V-関手 F : AVKA について、次の同型が V に存在する。  

ただし豊穣圏の理論において「関手圏」[A, V] のhom対象 [A, V](A(K, _), F) にあたるものは、関手 V(A(K, _), F_)エンド英語版である。 

脚注

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  1. ^ Kinoshita 1996
  2. ^ Kinoshita 1998
  3. ^ MacLane 1998a
  4. ^ Mac Lane 1998, p. 77
  5. ^ Riehl 2016, p. 57
  6. ^ Riehl 2016, p. 50
  7. ^ Awodey 2010, p. 191
  8. ^ Mac Lane 1998, pp. 57–61
  9. ^ Mac Lane (1998) など。
  10. ^ Johnson-Freyd, Theo; Scheimbauer, Claudia (2017-02-05). “(Op)lax natural transformations, twisted quantum field theories, and “even higher” Morita categories” (英語). Advances in Mathematics 307: 147–223. arXiv:1502.06526. doi:10.1016/j.aim.2016.11.014. ISSN 0001-8708. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870816303164. 
  11. ^ Loregian, Fosco (2021). (Co)end Calculus. Cambridge: Cambridge University Press. arXiv:1501.02503. doi:10.1017/9781108778657. ISBN 978-1-108-74612-0. https://www.cambridge.org/core/books/coend-calculus/C662E90767358B336F17B606D19D8C43 2022年10月1日閲覧。 
  12. ^ Adámek, Rosický & Vitale 2010, p. 8, §0.14
  13. ^ Mac Lane & Moerdijk 1992, pp. 37–39

参考文献

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関連項目

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