素数定理(そすうていり、: Prime number theorem: Primzahlsatz)とは自然数の中に素数がどのくらいの「割合」で含まれているかを述べる定理である。整数論において素数が自然数の中にどのように分布しているのかという問題は基本的な関心事である。しかし、分布を数学的に証明することは極めて難しく、解明されていない部分が多い。この定理はその問題について重要な情報を与える。

歴史編集

この定理は、18世紀末にカール・フリードリヒ・ガウスアドリアン=マリ・ルジャンドルによって予想された(ガウス自身の言によればそれは1792年のガウス15歳のときである)。実際にはルジャンドルが初めて自身の著『数の理論』で公表し、少年ガウスがそれを知っていたことはガウスの死後の1863年に全集が出るまでは知られず、ガウス自身は素数定理については友人エンケに一度だけ手紙(1849年)で触れただけであった[1]

その後パフヌティ・チェビシェフによる部分的な結果(1850年-1852年[2])や、ベルンハルト・リーマンによる新たな解析的方法が発表された[3]が、最終的には1896年シャルル=ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサンフランス語版[4]ジャック・アダマール[5]がそれぞれ独立に証明した。当初与えられた証明はゼータ関数複素関数論を用いる高度なものであったが、1949年アトル・セルバーグ[6]ポール・エルデシュ[7]は初等的な証明を与えた。ノーバート・ウィーナー池原止戈夫らによるタウバー型定理によって、素数定理と「ゼータ関数が Re s = 1 上に零点を持たないこと」との同値性がすでに確立されていたために、この初等的な証明は大きな驚きをもって迎えられた。

定理の内容編集

以下、記号「 」は次を表すとする。

任意の関数 に対し、
 

なお、上式が成立している場合、「xが充分大きい場合、  近似できる」といえる。

素数定理は、具体的には次の式で表される。

 

上式において、π(x) は素数計数関数 (prime counting function) で、x 以下の素数の個数を表す。また Li(x) は補正対数積分 (logarithmic integral) で、次の積分で定義される。

 

なお、この定理は1や2以外の正数を積分の下端とする場合にも成立するが、慣例的に最小の素数である 2 とすること(補正対数積分)が多い。

また、補正対数積分を1回部分積分すると、

 

となる。ここで、 Oランダウの記号である。このことから、定理を次のように述べることもできる。

 

これは同様にx/log(x) で近似できるということを意味する。こちらのほうが近似精度は少し悪いが計算上扱い易い。さらに次のように変形した式は、π(x)/x すなわちx 以下の正整数に占める素数の割合の近似式を表す。

 

上の2通りの近似はx が小さくても比較的正確である(以下の表を参照)。

また、n 番目の素数を pn とすると、n ≧ 6 に対して

 

が成り立つ[8][9]

π(x), x/log(x), li(x) の表編集

表は π(x) 、 x/log(x) 、 li(x) の値とそれらの比較の表である。

近似の様子
x π(x)[10] π(x) − x/log(x)[11] π(x)/(x/log(x)) li(x) − π(x)[12] x/π(x)[注釈 1] x/log(x)[13] li(x)[14]
10 4 −0.343 0.921 2.166 2.500 4.343 6.166
102 25 3.285 1.151 5.126 4.000 21.715 30.126
103 168 23 1.161 10 5.952 145 178
104 1,229 143 1.132 17 8.137 1,086 1,246
105 9,592 906 1.104 38 10.425 8,686 9,630
106 78,498 6,116 1.084 130 12.740 72,382 78,628
107 664,579 44,158 1.071 339 15.047 620,421 664,918
108 5,761,455 332,774 1.061 754 17.357 5,428,681 5,762,209
109 50,847,534 2,592,592 1.054 1,701 19.667 48,254,942 50,849,235
1010 455,052,511 20,758,029 1.048 3,104 21.975 434,294,482 455,055,615
1011 4,118,054,813 169,923,159 1.043 11,588 24.283 3,948,131,654 4,118,066,401
1012 37,607,912,018 1,416,705,193 1.039 38,263 26.590 36,191,206,825 37,607,950,281
1013 346,065,536,839 11,992,858,452 1.034 108,971 28.896 334,072,678,387 346,065,645,810
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636 1.033 314,890 31.202 3,102,103,442,166 3,204,942,065,692
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452 1.031 1,052,619 33.507 28,952,965,460,217 29,844,571,475,288
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,393 1.029 3,214,632 35.812 271,434,051,189,532 279,238,344,248,557
1017 2,623,557,157,654,233 68,883,734,693,281 1.027 7,956,589 38.116 2,554,673,422,960,305 2,623,557,165,610,822
1018 24,739,954,287,740,860 612,483,070,893,536 1.025 21,949,555 40.420 24,127,471,216,847,324 24,739,954,309,690,415
1019 234,057,667,276,344,607 5,481,624,169,369,960 1.024 99,877,775 42.725 228,576,043,106,974,646 234,057,667,376,222,382
1020 2,220,819,602,560,918,840 49,347,193,044,659,701 1.023 222,744,644 45.028 2,171,472,409,516,259,138 2,220,819,602,783,663,484
1021 21,127,269,486,018,731,928 446,579,871,578,168,707 1.022 597,394,254 47.332 20,680,689,614,440,563,221 21,127,269,486,616,126,182
1022 201,467,286,689,315,906,290 4,060,704,006,019,620,994 1.021 1,932,355,208 49.636 197,406,582,683,296,285,296 201,467,286,691,248,261,498
1023 1,925,320,391,606,803,968,923 37,083,513,766,578,631,309 1.020 7,250,186,216 51.939 1,888,236,877,840,225,337,614 1,925,320,391,614,054,155,139
1024 18,435,599,767,349,200,867,866 339,996,354,713,708,049,069 1.019 17,146,907,278 54.243 18,095,603,412,635,492,818,797 18,435,599,767,366,347,775,144
1025 176,846,309,399,143,769,411,680 3,128,516,637,843,038,351,228 1.018 55,160,980,939 56.546 173,717,792,761,300,731,060,452 176,846,309,399,198,930,392,619
1026 1,699,246,750,872,437,141,327,603 28,883,358,936,853,188,823,261 1.017 155,891,678,121 58.850 1,670,363,391,935,583,952,504,342 1,699,246,750,872,593,033,005,724
1027 16,352,460,426,841,680,446,427,399 267,479,615,610,131,274,163,365 1.0166 508,666,658,006 61.153 16,084,980,811,231,549,172,264,034 16,352,460,426,842,189,113,085,405
1028 157,589,269,275,973,410,412,739,598 2,484,097,167,669,186,251,622,127 1.016 1,427,745,660,374 63.456 155,105,172,108,304,224,161,117,471 157,589,269,275,974,838,158,399,972

π(1024) の値はもともとリーマン予想を仮定して計算されたが[15]、その後無条件で証明された[16]

算術級数の素数定理編集

この定理はまた、算術級数(等差数列)中の素数に関しても拡張されており、これを算術級数の素数定理という:

すなわち、算術級数 {an + b} (a > 0、ab は互いに素) に含まれる素数で、x 以下のものの数を πa,b(x) で表すとき、

 

が成り立つ。ここで φ(n) はオイラーの関数と呼ばれるもので、n と互いに素な n 以下の自然数の個数を表す。この漸近公式はルジャンドルやペーター・グスタフ・ディリクレによって予想されていたが、これもド・ラ・ヴァレー・プーサンによって証明された。近年、Ivan Soprounov により、より初等的な証明が発見された[17]

誤差評価編集

より詳しくは、現今最良の近似の誤差は次の結果である(ヴィノグラードフの素数定理)。充分大きな x について、

  ただし  .[18]

さらに、1901年ヘルゲ・フォン・コッホは、もしリーマン予想が正しければ次のように誤差評価を改善できることを証明した[19]

 

逆に、上記の評価式が成り立てばリーマン予想が成り立つことも知られている。

また前節で挙げた表を見れば分かるように、x が小さければ

 

が成り立っている。これが全ての x で成り立つであろうと、ガウスリーマンさえも予想していたが、これが正しくないことは1914年にジョン・エデンサー・リトルウッドが初めて示した。これが成り立たない最小の xスキューズ数というが、具体的な値はほとんど分かっていない。なお、   の大小は、x が大きくなるにつれて無限に入れ替わる[20]

リーマン関数編集

リーマンは、リーマン関数

 

を用いて、π(x) に関する以下の公式を与えた。

 

ただし、和はゼータ関数の複素零点 ρ 全体をわたる。

R(x) の項だけをとっても、これは Li(x) よりかなり良い近似を与える。

R(x) は、以下の級数を用いて計算可能である[21]

 

有限体上の既約多項式での類似編集

有限体上の既約多項式の「分布」を記述する素数定理の類似がある。形式は古典的な素数定理の場合に全く同一に見える。

このことを詳しく述べるために、F = GF(q) を q 個の元を持つ有限体とし、ある固定された q に対し、Nnモニック既約F 上の多項式で、次数n となるものの数を表すとする。モニックな既約多項式とは、つまり、F の中に係数をもつ多項式と見て、小さな次数の積としては書くことができないような多項式とする。この設定では、モニックな既約多項式は、他の全てのモニックな多項式はモニックな既約多項式の積で書くことができるので、素数の役割を果たす。すると次のことを証明することができる。

 

x = qn を代入すると、この式の右辺は、

 

であり、類似がより明白になる。qn は次数 n のモニックな既約多項式であるので、このことは次のように言い換えることができる。次数 n のモニック多項式をランダムに選ぶと、既約である確率は、約 1/n である。

リーマン予想の類似、すなわち、

 

が成り立つことを証明することができる。

多項式についての命題の証明は、古典的な(数についての)命題の証明に比較して、非常に易しい。短い組み合わせ的な議論により証明することができる[22]。まとめると、F の次数 n の拡大の全ての元は、n を割る次数 d のある既約多項式の根であり、2つの方法でこれらの根の数を数え上げることにより、

 

を成立させることができる。ここに和は n因子 d の全てを渡る。よって、μ(k) をメビウス関数とすると、反転公式は、

 

である。(この公式をガウスは既に知っていた。)主要項は d = n であり、残余項の境界を示すことは難しくはない。多項式の「リーマン予想」の命題は、最大な nn 未満の因子は n/2 よりも大きくはなり得ないという事実には依存しない。

脚注編集

注釈編集

  1. ^ x/π(x) は、おおよそのところ、x 以下における隣り合う素数の差の平均である。

出典編集

  1. ^ Gauss, C. F. (1863), Werke(全集), 第2巻 (1st ed.), Göttingen: Teubner, pp. 444–447, https://archive.org/details/carlfriedrichgu00gausgoog/page/444/mode/2up .
  2. ^ チェビシェフの定理を参照。
  3. ^ 1859年の論文「与えられた数より小さい素数の個数について
  4. ^ de la Vallée Poussin 1896.
  5. ^ Hadamard 1896.
  6. ^ Selberg 1949.
  7. ^ Erdős 1949.
  8. ^ Rosser, Barkley (1941). “Explicit bounds for some functions of prime numbers”. American Journal of Mathematics 63 (1): 211–232. doi:10.2307/2371291. JSTOR 2371291. MR0003018. 
  9. ^ Dusart, Pierre (1999). “The kth prime is greater than k(log k + log log k−1) for k ≥ 2”. Mathematics of Computation 68 (225): 411–415. doi:10.1090/S0025-5718-99-01037-6. MR1620223. 
  10. ^ π(x):A006880
  11. ^ Difference between pi(10^n) and the integer nearest to 10^n / log(10^n).:A057835
  12. ^ Difference between nearest integer to Li(10^n) and pi(10^n), where Li(x) = integral of log(x) and pi(10^n) = number of primes <= 10^n:A057752
  13. ^ Integer nearest to 10^n / log(10^n). x:A057834
  14. ^ Integer nearest to Li(10^n), where Li(x) = integral(0..x, dt/log(t)).:A057754
  15. ^ Conditional Calculation of pi(1024)”. Chris K. Caldwell. 2010年8月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年8月3日閲覧。
  16. ^ Computing π(x) Analytically)”. 2012年7月25日閲覧。
  17. ^ Soprounov, Ivan (1998年). “A short proof of the Prime Number Theorem for arithmetic progressions”. Cleveland State University. 2022年8月7日閲覧。
  18. ^ Kevin Ford (2002). “Vinogradov's Integral and Bounds for the Riemann Zeta Function”. Proc. London Math. Soc. 85 (3): 565–633. arXiv:1910.08209. doi:10.1112/S0024611502013655. https://faculty.math.illinois.edu/~ford/wwwpapers/zetabd.pdf. 
  19. ^ von Koch, Helge (1901). “Sur la distribution des nombres premiers”. Acta Mathematica 24 (1): 159–182. doi:10.1007/BF02403071. MR1554926. https://zenodo.org/record/2347595. 
  20. ^ Littlewood, J.E. (1914). “Sur la distribution des nombres premiers”. Comptes Rendus 158: 1869–1872. JFM 45.0305.01. 
  21. ^ Weisstein, Eric W. "Gram Series". MathWorld (英語).
  22. ^ Chebolu, Sunil; Ján Mináč (December 2011). “Counting Irreducible Polynomials over Finite Fields Using the Inclusion-Exclusion Principle”. Mathematics Magazine 84 (5): 369–371. doi:10.4169/math.mag.84.5.369. http://www.jstor.org/stable/10.4169/math.mag.84.5.369. 

参考文献編集

関連項目編集

外部リンク編集