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逆ガンマ分布 （ぎゃくガンマぶんぷ、英語 : inverse gamma distribution ）は連続確率分布 の一種で、その母数は2つである。ガンマ分布 に従う確率変数の逆数は逆ガンマ分布に従う。
定義と性質
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逆ガンマ関数の確率密度関数 は形状母数 （英語版 ）
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
尺度母数 （英語版 ）
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
台
(
0
,
∞
)
{\displaystyle (0,\infty )}
f
(
x
;
α
,
β
)
=
β
α
Γ
(
α
)
e
−
β
/
x
x
α
+
1
{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}}
と定義される[1]
Γ
{\displaystyle \Gamma }
ガンマ関数 である。尺度母数について
f
(
x
;
α
,
β
)
=
1
β
f
(
x
/
β
;
α
,
1
)
{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{\beta }}f(x/\beta ;\alpha ,1)}
である。逆ガンマ分布の累積分布関数 は次のように表される。
F
(
x
;
α
,
β
)
=
Γ
(
α
,
β
/
x
)
Γ
(
α
)
{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}}
ここで分子の
Γ
{\displaystyle \Gamma }
不完全ガンマ関数 である。
モーメント
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α
>
n
{\displaystyle \alpha >n}
n
{\displaystyle n}
モーメント は
E
[
X
n
]
=
β
n
Γ
(
α
−
n
)
Γ
(
α
)
=
β
n
(
α
−
n
)
⋯
(
α
−
1
)
{\displaystyle E[X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -n)\dotsb (\alpha -1)}}}
である[2] 期待値 と分散 はそれぞれ
E
[
X
]
=
β
α
−
1
(
α
>
1
)
,
V
[
X
]
=
β
2
(
α
−
2
)
(
α
−
1
)
2
(
α
>
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}E[X]&={\frac {\beta }{\alpha -1}}&(\alpha >1),\\V[X]&={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&(\alpha >2)\end{aligned}}}
である。
他の分布との関係
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I
n
v
G
a
m
m
a
(
α
,
1
/
2
)
{\displaystyle {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,1/2)}
I
n
v
C
h
i
2
(
2
α
)
{\displaystyle {\mathsf {InvChi2}}(2\alpha )}
逆カイ二乗分布 （英語版 ）
I
n
v
G
a
m
m
a
(
1
/
2
,
β
)
{\displaystyle {\mathsf {InvGamma}}(1/2,\beta )}
L
e
v
y
(
0
,
2
β
)
{\displaystyle {\mathsf {Levy}}(0,2\beta )}
レヴィ分布 ）
X
∼
G
a
m
m
a
(
α
,
θ
)
{\displaystyle X\sim {\mathsf {Gamma}}(\alpha ,\theta )}
ガンマ分布 、
θ
{\displaystyle \theta }
1
/
X
∼
I
n
v
G
a
m
m
a
(
α
,
1
/
θ
)
{\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,1/\theta )}
注意：
X
∼
G
a
m
m
a
(
α
,
β
)
{\displaystyle X\sim {\mathsf {Gamma}}(\alpha ,\beta )}
ガンマ分布 、
β
{\displaystyle \beta }
rate parameter （英語版 ）
1
/
X
∼
I
n
v
G
a
m
m
a
(
α
,
β
)
{\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,\beta )}
X
∼
I
n
v
G
a
m
m
a
(
1
,
β
)
{\displaystyle X\sim {\mathsf {InvGamma}}(1,\beta )}
1
/
X
∼
E
x
p
(
β
)
{\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {Exp}}(\beta )}
指数分布 ） 参考文献
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Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer.
Witkovsky, V. (2001). “Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables”. Kybernetika 37 (1): 79–90. MR 1825758 . Zbl 1263.62022 . 関連項目
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![{\displaystyle E[X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -n)\dotsb (\alpha -1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35effbeffc3640e602945ae592382abca91452c0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E[X]&={\frac {\beta }{\alpha -1}}&(\alpha >1),\\V[X]&={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&(\alpha >2)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384b226e41357b4f24f882870ad80ad748afc3fd)
